Chiziqli algebra

1-xossa. Hech qaysi ikkita yonma-yon turuvchi Shturm ko’phadlari umumiy haqiqiy ildizga ega emas.
Isboti. Faraz qilaylik, va ko’phadlar umumiy ildizga ega bo’lsin. (2) tengliklarga asosan ushbu
(5)
tenglikni hosil qilamiz va o’ng tomonning ga bo’linishini ko’ramiz (chunki va uchun ildizdir), demak, ham ga bo’linadi. Endi (5) dan oldingi turgan tenglikka o’tib, xuddi shu yo’l bilan ham ga bo’linadi degan natijaga kelamiz va hakozo.
Yuqoriga tomon birma-bir qadam qo’ya borib, (2) dagi ikkinchi va birinchi tengliklardan va ning ga bo’linishini topamiz. Lekin bunday bo’lishi mumkin emas, chunki va o’zaro tubdir.
2-xossa. Agar oraliq ko’phad uchun haqiqiy ildiz bo’lsa, u bilan yonma-yon turgan ikki va ko’phadning ga mos qiymatlari qarama-qarshi ishoraga ega.
Isboti. Shart bo’yicha bo’lib, birinchi xossaga asosan va . Endi tenglikdan qiymatda kelib chiqadi. Bu esa xossani isbotlaydi.
3-xossa. Agar o’sa borib, biror oraliq ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, (3) Sturm qatoridagi ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi.
Isboti. Masalan, ni ning haqiqiy ildizi deylik. Bu vaqtda va noldan farqli va qarama-qarshi ishoralarga ega bo’ladi. Endi shunday kichik oraliqni olaylikki, bu oraliq ichida va chegaralarida va ning haqiqiy ildizlari bo’lmasin. Demak, biz olgan oraliqda va ning ishorasi o’zgarmaydi. Aniqlik uchun oraliqda, masalan, va deylik. U vaqtda shu oraliq bilan chegaralanib ishoralarining ushbu jadvalini hosil qilamiz:

	–		+
	–		+

Bo’sh qoldirilgan xonalarga qanday ishoralarni qo’ymaylik, bari bir uchun ham uchun ham bitta ishora almashinishga ega bo’lamiz.

Agar bir necha oraliqdagi ko’phadlarning ildizi bo’lsa, (1-xossaga muvofiq) ular bilan yonma-yon turgan ko’phadlar nolga teng bo’lmaydi, shu sababli, olingan kichik oraliq uchun hozir isbot etilganiga ko’ra (3) Shturm qatorining o’sha joylarida ham ishora almashinishlar soni o’zgarmaydi.
Endi (3) qatorning biror oraliqdagi ko’phadlar uchun ildiz bo’lmasa, u holda, ravshanki, olingan kichik oraliqda bu ko’phadlarning ishoralari o’zgarmaydi.
4-xossa. Agar o’sa borib, ko’phadning haqiqiy ildizidan o’tsa, u holda ko’phad va uning hosilasi tomonidan tashkil etilgan bitta ishora almashinish yo’qoladi, ya’ni ko’paytma ishorasini minusdan plyusga o’zgartiradi.