Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Aim.uz

Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Reja:

• 
  Kramer usuli.
  
• 
  Gauss usuli.
  
• 
  Matritsalar yordamida tenglamalar sistemasini yechish.
  

Tayanch iboralar: tenglamalar sistemasi, noma’lumlar, yechimlar, birgalikda bo’lgan va birgalikda b o’lmagan sistema, aniq va aniqmas sistema, elementar almashtirishlar, uchburchak va pog’onasimon ko’rinishdagi sistema.

1.1. Kramer usuli.
Faraz qilaylik, I-darajali, ikkita noma’lumli, ikkita algebraik tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
(1). 
(1)  sistemaning 1-tenglamasini a₂₂ ga, 2-tenglamasini –a₁₂ ga ko’paytirib qo’shsak:
(a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁)x₁=b₁ a₂₂ - b₂ a₁₂  
Agar (1) sistemaning 1-tenglamasi –a₂₁ ga, 2-tenglamasini a₁₁ ga ko’pattirib qo’shsak
(a₁₁ a₂₂ – a₁₂ a₂₁)X₂=b₂ a₁₁ - b₁ a₂₁  
(2) va (3)larga e’tibor bersak 2-tartibli determinant ta’rifiga ko’ra
X₁=
ga ega bo’lamiz.
(4) ga Kramer usuli deyiladi. (1) sistema yagona yechimga ega bo’lishi uchun   zarur va yetarli.
(4) ga e’tibor bersak   berilgan (1) sistemadagi noma’lumlarning oldidagi koeffitsentidan tuzilgan 2-tartibli determinant,  ₁ ,  ₂ lar esa mos ravishda  ning birinchi va ikkinchi ustunlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar.
Agar uch noma’lumli 3ta algebraik tenglamalar sistemasi
berilgan bo’lib   =  bo’lsa
berilgan tenglamaning yechimlari:
(5) Kramer usulida aniqlanadi. Bu yerda ham  , ,  lar  ning ustun elementlarini mos ravishda ozod elementlari bilan almashtirishdan hosil bo’lgan determinantlar.
Agar birinchi darajali n ta noma’lumli n ta algebraik tenglamalar sistemasi

bo’lsa, berilgan sitemaning yechimini Kramer usuliga ko’ra quyidagicha aniqlash mumkin:

₁,  ₂, … ,  _n lar   ning ustun elementlarini mos ravishda ketma-ket ozod hadlar bilan almashtirishdan hosil bo’ladi.
Misol.
1)  =

2)
(1; -2; -1).
Agar 3 noma’lumli bir jinsli 2ta tenglamalar sistemasi

determinantlarning loaqal bittasi noldan farqli bo’lsa, u holda (7) sistemaning barcha yechimalri

formula bilan aniqlanadi. (t-istiyoriy son),

(9) da   bo’lsa, x=0, y=0, z=0 lar sistemaning yagona yechimi bo’ladi. Agar   bo’lsa, (9)ning cheksiz ko’p yechimi bo’lib ular (7) kabi aniqlamadi.
1).  

X=3t,  y=4t,  z=11t  (3t; 4t; 11t).
2).