Chiziqli differensial tenglamalar sistеmasi. Mavjudlik va yagоnalik tеоrеmasi. Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistеmasi yechimlarining xossalari

Chiziqli differensial tenglamalar sistеmasi.

Mavjudlik va yagоnalik tеоrеmasi.

Chiziqli bir jinsli tenglamalar sistеmasi yechimlarining xossalari.

1. Aytaylik fazoda berilgan simmetrik bo‘lmagan chiziqli operatorning biror bazisdagi matritsasi ushbu

ko‘rinishda bo‘lib, u karrali xos qiymatga ega bo‘lsin. U holda uning chiziqli erkli xos vektorlari soni dan kam bo‘ladi. Shuning uchun matritsaning xos vektorlari fazoning bazisini tashkil qilmaydi. Ammo fazosining Jordan bazisini tuzish mumkin. Buning uchun Jordan katagi va zanjiri hamda yopishgan (yoki ergashgan) vektor tushunchalarini bayon qilish zarur.

1-ta’rif. Ushbu

ko‘rinishdagi matritsaga Jordan katagi deyiladi. Bu matritsa karrali yagona xos qiymatga ega bo‘lib, uningo‘lchamini bildiradi.

matritsaning xos qiymatiga mos keluvchi barcha xos vektorlarini topaylik. Buning uchun ushbu

tenglamaning nolmas yechimlarini topamiz. Bu tenglamani koordinatalarda yozib, quyidagi

tenglamalarni hosil qilamiz. Bunda bo‘lib, -ixtiyoriy son. Shuning uchun matritsa yagona

xos vektorga ega bo‘ladi. fazoning bundan boshqa

birlik vektorlariga matritsa quyidagicha ta’sir qiladi:

.

Aytaylik, soni matritsaning karrali xos qiymati bo‘lsin.

2-ta’rif. Ushbu

tengliklarni qanoatlantiruvchi vektorlar sistemasiga matritsaning Jordan zanjiri deyiladi. Bunda --matritsaning xos vektori, vektorlarga esa unga yopishgan vektorlar deyiladi.

Demak, yuqoridagi vektorlar Jordan katagining Jordan zanjirini tashkil qiladi.