Mavzu: Chiziqli operatorlar va ularning xossalari Reja

Mavzu: Chiziqli operatorlar va ularning xossalari Reja

Mavzu: Chiziqli operatorlar va ularning xossalari
Reja:

1. Chiziqli operatorning ta’rifi va misollar.

   
   

2. Chiziqli operatorning matritsasi.

   
   

3. Chiziqli operatorlar ustida arifmetik amallar.

   
   

4. Chiziqli operatorlar fazosi.

   
   

5. Chiziqli operatorlarning otosh matritsasi.

   
   

6. Chiziqli operatorlarning xos son va xos vektorlari.

   
   

7. Xulosa
   

Tayanch soʻz va iboralar. Operator, chiziqli operator, operatorning matritsasi, operatorning rangi, nol operator, birlik operator, matritsaning xos vektori, matritsaning xos qiymati, xarakteristik tenglama, chiziqli operator matritsasining diagonal shakli.
Matritsalar algebrasining asosiy tushunchalaridan biri – chiziqli operatorlar tushunchasidir. Faraz qilaylik bizga chiziqli fazolar berilgan boʻlsin.
1- ta’rif. Agar biror qoida yoki qonun boʻyicha har bir elementga element mos qoʻyilgan boʻlsa, u holda fazoni fazoga oʻtkazuvchi operator (almashtirish, akslantirish) aniqlangan deyiladi va koʻrinishda belgilanadi.
2- ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun:
1) (operatorning additivligi);
2) (operatorning bir jinsliligi) munosabatlar oʻrinli boʻlsa, u holda bu operator chiziqli operator deyiladi.
1- misol. operator qoida bilan aniqlangan boʻlsin, u holda bu operatorning chiziqli operator ekanligini koʻrsating.
Yechish. Maʻlumki, va vektor uchun . U holda elementga operatorni taʻsir ettirsak, quyidagiga ega boʻlamiz:

Bu esa operatorning additivligini koʻrsatadi.

Endi operatorning bir jinsli ekanligini tekshiramiz. Maʻlumki, . U holda

Demak, biz oʻrganayotgan operator chiziqli operatordir.

element elementning aksi, elementning oʻzi esa elementning proobrazi deyiladi. Agar boʻlsa, u holda operator fazoni oʻzini oʻziga akslantiruvchi operator boʻladi. Biz koʻproq fazoni oʻzini oʻziga akslantiruvchi operatorlarni oʻrganamiz.
1-teorema. Har bir chiziqli operatorga berilgan bazisda tartibli matritsa mos keladi va aksincha har bir tartibli matritsaga oʻlchovli chiziqli fazoni, oʻlchovli chiziqli fazoga akslantiruvchi chiziqli operator mos keladi.
Isbot. Faraz qilaylik chiziqli operator boʻlsin. Agar vektorlar sistemasi fazoning bazisi boʻlsa, u holda ixtiyoriy elementni bu bazis elementlari orqali yozish mumkin:
. (1)
Bu yerda biz operatorning chiziqliligidan foydalanib, ni quyidagicha yoza olamiz:
. (2)
Bu yerda har bir elementlar oʻz navbatida fazoning elementlari boʻlganligi sababli, bu elementlarni ham bazis orqali yozish mumkin:
. (3)
U holda (3) dan foydalanib (2) ifodani quyidagicha yozish mumkin:
(4)
Ikkinchi tomondan element ham bazis elementlari boʻyicha quyidagi yoyilmaga ega:
. (5)
Vektorning bitta bazis boʻyicha yoyilmasi yagonaligidan (4) va (5) tengliklarning oʻng tomonlarini tenglashtirib, quyidagini olamiz.

yoki matritsa koʻrinishida , bu yerda

3- ta’rif. matritsa operatorning bazisdagi matritsasi, matritsaning rangi esa operatorning rangi deyiladi.
fazoning barcha vektorlarini nol vektorga akslantiruvchi operator  nol operator, tenglikni qanoatlantiruvchi operator birlik operator deb ataladi.