Chiziqli funkstionallar haqidagi Xan-Banax teoremasi

Chiziqli funkstionallar haqidagi Xan-Banax teoremasi

E haqiqiy chiziqli fazo bo’lsin. Agar :E[0,) funkstionallar uchun:

1) (x+u) (x)+ ( u)
2) (x)=(x), 0 shartlar bajarilsa, u holda r funkstionalni qabariq deyiladi. Bu ta’rifdan ko’rinadiki normallangan fazodagi norma qabariq funkstional bo’ladi.
Misollar.

1. 
   R_n fazoda berilgan va quyidagi tenglik aniqlangan : R_n [0,) funkstional qabariq bo’ladi. Shu bilan birga, funkstional fazodagi norma ham bo’ladi. Haqiqatdan ham, bu funkstional uchun (x+u) (x)+ ( u) munosabat o’rinli bshlishini quyidagicha tekshiriladi. Ushbu tenglik o’rinli. Bu ayniyatdan esa, tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikdan quyidagicha foydalanamiz.
   

yoki
bu erda va r funkstional uchun 2) shartning bajarilishi bevosita kelib chiqadi.

2. 
   S=[0,1] to’plamda berilgan va quyidagi tenglik bilan aniqlangan r:S[0,1][0,) funkstionalning qabariqligi juda oson tekshiriladi. Lekin bu funkstional norma shartlarini to’liq qanoatlantirmaydi, chunki f(x)=x-0,5 funksiya . S=[0,1] fazoga tegishli va f(0,5)=0 tenglik o’rinliyu Bu funkstional uchun normadagi 1) shart bajarilmaydi, ya’ni 0 dan farqli f element uchun bajariladi.
   

E-haqiqiy chiziqli fazo va E₀ uning qism fazosi bo’lsin. f₀ va E₀ qism fazoda berilgan funkstional bo’lsin. Agar f:ER chiziqli funkstional uchun tenglik barcha xE₀ elementlar uchun o’rinli bo’lsa, u holda f funkstional f₀ ning E₀ fazodan E fazogacha davomi deyiladi.
Kichikroq fazoda berilga chiziqli fazo funkstionalni kattaroq fazogacha davom ettirish matematik taxlilning asosiy vazifalaridan biridir. Bu masala haqiqiy chiziqli fazofazolar quyidagi teorema orqali hal qilingan.
Teorema (Xan-Banax). E-haqiqiy chiziqli fazo fazo, f₀ esa, E ning qandaydir qism fazosi E₀ da berilga chiziqli fazo funkstional bo’lsin. Agar E da berilgan qabariq r funkstional uchun (1) munosabat barcha xE₀ elementlar uchun o’rinli bo’lsa, u holda shunday f:ER chiziqli fazo funkstionali mavjudki, u f₀ funkstionalning davomi bo’ladi va xE tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isboti. Aytaylik, EE₀ bo’lib, f₀ chiziqli fazo funkstional E₀ qism fazoda berilgan bo’lsin. Uni E₀ dan kattaroq bo’lgan E qism fazoga davom ettirish mumkinligini ko’rsatamiz. E₀ qism fazoga tegishli bo’lmagan zÎE elementni olamiz va E₀ hamda z elementni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazoni E bilan belgilaymiz, ya’ni E₀ E E munosabat o’rinli va E ning ixtiyoriy elementini az+x, xE₀, xR ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar f₀ funkstionalning E’ dagi davomi f bilan belgilasak, f(az+x)= f(z)+ f₀(x) tenglik o’rinli bo’ladi, chunki E₀ qism fazoning elementlari uchun f(x)=f₀(x₀) tenglik bajariladi. Agar f(z)=s deb belgilash kiritsak, f(az+x)=s+f₀(x) bajariladi. Endi s ni shunday tanlash kerakki, har qanday xÎE₀ element va ixtiyoriy haqiqiy son  uchun (1) tengsizlik bajarilsin, ya’ni f(x₀)+asr(z+x) >0 bo’lganda oxirgi tengsizlikni yoki (2) ko’rinishda, agar >0 bo’lsa, uni yoki (3) ko’rinishda yozish mumkin. (2) va (3) tengliklarni qanoatlantiruvchi S sonni har doim topish mumkinligini ko’rsatamiz.
E₀ qism fazoning ixtiyoriy y,hÎE₀ elementlari uchun (4) tengsizlik bajariladi. Haqiqatdan ham, bu munosabat quyidagi tengsizlikdan kelib chiqadi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

(4) tengsizlikdan s₁s₂ tenglikni hosil qilamiz. S sonini shunday tanlaymizki s₁ss₂ bajarilsin. U holda E da aniqlangan va f(az+x)=as+ f₀(x) tenglik bilan aniqlangan f funkstional uchun (1) shart bajariladi. Demak , f funkstional E da aniqlangan va EE₀ munosabat o’rinli hamda E₀ qism fazoning ixtiyoriy elementi x uchun f(x)=f₀(x) tenglik o’rinli. Shuning uchun f funkstional f₀ ning E ga davomi deb qarash mumkin. Shu bilan birga bu funkstional uchun (1) tengsizlik bajariladi. Agar E fazo x₁, x₂,... sistema E₀ ga kirmagan elementlar bo’lsa, u holda f₀ funkstionalning davomi dastlab E₁={E₀,x₁} fazoda quramiz. So’ngra hosil bo’lgan funkstionalning davomi E₂={E₁,x₂} fazoda quramiz va hokazo. Bu erda E_i fazo E_i-1 va x_i elementni o’z ichiga oluvchi eng kichik qism fazodir. Har qanday xE element qandaydir E_k ga tegishli bo’ladi. Demak, f₀ funkstionalni E₀ qism fazodan butun E fazoga (1) shartni saqlagan holda davom ettirish mumkin.
Agar E fazoda sanoqli to’la sistema mavjud bo’lmasa bu teoremani Storn nomi bilan yuritiladigan lemma yordamida isbotlanadi.
Natija. Normallangan E fazoning E₀ qism fazosida uzluksiz f₀ chiziqli funkstional berilgan bo’lsa, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli uzluksiz funkstional f mavjud: 1) f(x)=f₀(x), xE₀ 2)
ya’ni f₀ funkstionalni uning normasini o’zgartirmasdan butun fazoga davom ettirish mumkin.
Isboti. f₀ funkstional E₀ qism fazoda chiziqli va uzluksiz bo’lsin. Ushbu funkstional ni quramiz. . Bu funkstional r qabariq bo’ladi (aslida norma bo’ladi). U holda ihtiyoriy xE₀ element uchun munosabat o’rinli.
Isbotlangan Xan – Banax teoremasidan foydalanib f₀ funkstional E fazogacha davom ettirish mumkin. Agar f₀ ning davomini f bilan belgilasak 1) f(x)=f₀(x), xE₀
2) xE shartlar bajariladi. Demak, , ya’ni . Shuning uchun f chegaralangan va uzluksiz funkstional bo’ladi. Ikkinchi tomondan, ya’ni munosabat ham o’rinli. Demak, bajariladi.
Bu muxim teorema kompleks chiziqli fazo uchun ham o’rinli bo’ladi. Agar E kompleks chiziqli fazo bo’lib, unda berilgan funkstional uchun 1) p(x+y)p(x)+p(y) 2) p(x) p(x) shartlar bajarilsa, u holda r funkstionalni davom ettirish haqida teoremaning bayoni va isboti deyarli o’zgarishsiz kompleks chiziqli fazo uchun ifodalanadi va isbotlanadi.