Reja: chiziqli funkstionallar haqidagi xan-banax teoremasi

XAN-BANAX TEOREMASI. NORMALANGAN FAZO VA ULARNING XOSSALARI NORMALANGAN FAZODAGI BIRIKMALARNING ROMPAKT BO'LISHLIK BELGISI
REJA:

1. 
   CHIZIQLI FUNKSTIONALLAR HAQIDAGI XAN-BANAX TEOREMASI
   
2. 
   NORMALANGAN FAZO VA ULARNING XOSSALARI
   
3. 
   NORMALANGAN FAZODAGI BIRIKMALARNING ROMPAKT BO'LISHLIK BELGISI
   

E haqiqiy chiziqli fazo bo’lsin. Agar :E[0,) funkstionallar uchun:

1) (x+u) (x)+ ( u)
2) (x)=(x), 0 shartlar bajarilsa, u holda r funkstionalni qabariq deyiladi. Bu ta’rifdan ko’rinadiki normallangan fazodagi norma qabariq funkstional bo’ladi.
Misollar.
Rn fazoda berilgan va quyidagi tenglik aniqlangan : Rn [0,) funkstional qabariq bo’ladi. Shu bilan birga, funkstional fazodagi norma ham bo’ladi. Haqiqatdan ham, bu funkstional uchun (x+u) (x)+ ( u) munosabat o’rinli bshlishini quyidagicha tekshiriladi. Ushbu tenglik o’rinli. Bu ayniyatdan esa, tenglik kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlikdan quyidagicha foydalanamiz.

yoki
bu erda va r funkstional uchun 2) shartning bajarilishi bevosita kelib chiqadi.
S=[0,1] to’plamda berilgan va quyidagi tenglik bilan aniqlangan r:S[0,1][0,) funkstionalning qabariqligi juda oson tekshiriladi. Lekin bu funkstional norma shartlarini to’liq qanoatlantirmaydi, chunki f(x)=x-0,5 funksiya . S=[0,1] fazoga tegishli va f(0,5)=0 tenglik o’rinliyu Bu funkstional uchun normadagi 1) shart bajarilmaydi, ya’ni 0 dan farqli f element uchun bajariladi.
E-haqiqiy chiziqli fazo va E0 uning qism fazosi bo’lsin. f0 va E0 qism fazoda berilgan funkstional bo’lsin. Agar f:ER chiziqli funkstional uchun tenglik barcha xE0 elementlar uchun o’rinli bo’lsa, u holda f funkstional f0 ning E0 fazodan E fazogacha davomi deyiladi.
Kichikroq fazoda berilga chiziqli fazo funkstionalni kattaroq fazogacha davom ettirish matematik taxlilning asosiy vazifalaridan biridir. Bu masala haqiqiy chiziqli fazofazolar quyidagi teorema orqali hal qilingan.
Teorema (Xan-Banax). E-haqiqiy chiziqli fazo fazo, f0 esa, E ning qandaydir qism fazosi E0 da berilga chiziqli fazo funkstional bo’lsin. Agar E da berilgan qabariq r funkstional uchun (1) munosabat barcha xE0 elementlar uchun o’rinli bo’lsa, u holda shunday f:ER chiziqli fazo funkstionali mavjudki, u f0 funkstionalning davomi bo’ladi va xE tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isboti. Aytaylik, EE0 bo’lib, f0 chiziqli fazo funkstional E0 qism fazoda berilgan bo’lsin. Uni E0 dan kattaroq bo’lgan E qism fazoga davom ettirish mumkinligini ko’rsatamiz. E0 qism fazoga tegishli bo’lmagan zÎE elementni olamiz va E0 hamda z elementni o’z ichiga olgan eng kichik qism fazoni E bilan belgilaymiz, ya’ni E0 E E munosabat o’rinli va E ning ixtiyoriy elementini az+x, xE0, xR ko’rinishda ifodalash mumkin. Agar f0 funkstionalning E’ dagi davomi f bilan belgilasak, f(az+x)= f(z)+ f0(x) tenglik o’rinli bo’ladi, chunki E0 qism fazoning elementlari uchun f(x)=f0(x0) tenglik bajariladi. Agar f(z)=s deb belgilash kiritsak, f(az+x)=s+f0(x) bajariladi. Endi s ni shunday tanlash kerakki, har qanday xÎE0 element va ixtiyoriy haqiqiy son  uchun (1) tengsizlik bajarilsin, ya’ni f(x0)+asr(z+x) >0 bo’lganda oxirgi tengsizlikni yoki (2) ko’rinishda, agar >0 bo’lsa, uni yoki (3) ko’rinishda yozish mumkin. (2) va (3) tengliklarni qanoatlantiruvchi S sonni har doim topish mumkinligini ko’rsatamiz.
E0 qism fazoning ixtiyoriy y,hÎE0 elementlari uchun (4) tengsizlik bajariladi. Haqiqatdan ham, bu munosabat quyidagi tengsizlikdan kelib chiqadi.
Quyidagi belgilashlarni kiritamiz:

(4) tengsizlikdan s1s2 tenglikni hosil qilamiz. S sonini shunday tanlaymizki s1ss2 bajarilsin. U holda E da aniqlangan va f(az+x)=as+ f0(x) tenglik bilan aniqlangan f funkstional uchun (1) shart bajariladi. Demak , f funkstional E da aniqlangan va EE0 munosabat o’rinli hamda E0 qism fazoning ixtiyoriy elementi x uchun f(x)=f0(x) tenglik o’rinli. Shuning uchun f funkstional f0 ning E ga davomi deb qarash mumkin. Shu bilan birga bu funkstional uchun (1) tengsizlik bajariladi. Agar E fazo x1, x2,... sistema E0 ga kirmagan elementlar bo’lsa, u holda f0 funkstionalning davomi dastlab E1={E0,x1} fazoda quramiz. So’ngra hosil bo’lgan funkstionalning davomi E2={E1,x2} fazoda quramiz va hokazo. Bu erda Ei fazo Ei-1 va xi elementni o’z ichiga oluvchi eng kichik qism fazodir. Har qanday xE element qandaydir Ek ga tegishli bo’ladi. Demak, f0 funkstionalni E0 qism fazodan butun E fazoga (1) shartni saqlagan holda davom ettirish mumkin.
Agar E fazoda sanoqli to’la sistema mavjud bo’lmasa bu teoremani Storn nomi bilan yuritiladigan lemma yordamida isbotlanadi.
Natija. Normallangan E fazoning E0 qism fazosida uzluksiz f0 chiziqli funkstional berilgan bo’lsa, quyidagi shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli uzluksiz funkstional f mavjud: 1) f(x)=f0(x), xE0 2)
ya’ni f0 funkstionalni uning normasini o’zgartirmasdan butun fazoga davom ettirish mumkin.
Isboti. f0 funkstional E0 qism fazoda chiziqli va uzluksiz bo’lsin. Ushbu funkstional ni quramiz. . Bu funkstional r qabariq bo’ladi (aslida norma bo’ladi). U holda ihtiyoriy xE0 element uchun munosabat o’rinli.
Isbotlangan Xan – Banax teoremasidan foydalanib f0 funkstional E fazogacha davom ettirish mumkin. Agar f0 ning davomini f bilan belgilasak 1) f(x)=f0(x), xE0
2) xE shartlar bajariladi. Demak, , ya’ni . Shuning uchun f chegaralangan va uzluksiz funkstional bo’ladi. Ikkinchi tomondan, ya’ni munosabat ham o’rinli. Demak, bajariladi.
Bu muxim teorema kompleks chiziqli fazo uchun ham o’rinli bo’ladi. Agar E kompleks chiziqli fazo bo’lib, unda berilgan funkstional uchun 1) p(x+y)p(x)+p(y) 2) p(x) p(x) shartlar bajarilsa, u holda r funkstionalni davom ettirish haqida teoremaning bayoni va isboti deyarli o’zgarishsiz kompleks chiziqli fazo uchun ifodalanadi va isbotlanadi.
Chiziqli funksionallar
Agar operatorning qiymatlari sonlardan iborat bo‘lsa, bunday operator funksional deyiladi . Agar chiziqli fazoda aniqlangan funksional uchun quyidagi shartlar bajarilsa
1) ; additivlik
2) bir jinslilik
ga chiziqli funksional deyiladi.
1-ta’rif. Agar ixtiyoriy uchun shunday mavjud bo‘lib, tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha lar uchun tengsizlik bajarilsa, funksional nuqtada uzluksiz deyiladi. Agar funksional ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa, uzluksiz funksional deyiladi.
23.1-ta’rifga teng kuchli bo‘lgan quyidagi ta’rifni keltirishimiz.
2-ta’rif. Agar nuqtaga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik uchun bo‘lsa, u holda funksional nuqtada uzluksiz deyiladi.
- kompleks sonlar to‘plami ( - haqiqiy sonlar to‘plami) Banax fazosi bo‘lganligi uchun 11-§ da chiziqli operatorlar uchun o‘rnatilgan teorema va tasdiqlar chiziqli funksionallar uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
1-teorema. chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional biror nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda bu chiziqli funksional butun fazoda uzluksiz.
2-teorema. chiziqli normalangan fazoda aniqlangan chiziqli funksional uzluksiz bo‘lishi uchun uning chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Xuddi chiziqli operatorlardagidek tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlarning aniq quyi chegarasi funksionalning normasi deyiladi va bilan belgilanadi. Shunday qilib,
.
Bundan tashqari, chiziqli chegaralangan funksionalning normasi uchun
(23.1)
tenglik o‘rinli.
3-teorema. (Xan-Banax). kompleks chiziqli normalangan fazo, - ning qism fazosi va - da aniqlangan chiziqli uzluksiz funksional bo‘lsin. U holda ni normasini saqlagan holda da aniqlangan chiziqli funksionalgacha davom ettirish mumkin, ya’ni

shartlarni qanoatlantiruvchi chiziqli funksional mavjud.

Isbot. Aytaylik, bo‘lsin. Norma aksiomalaridan bevosita kelib chiqadiki, barcha larda tenglik bilan aniqlanuvchi akslantirish qavariq funksional bo‘ladi. Bundan tashqari ixtiyoriy uchun

tengsizlik o‘rinli. Shunday ekan, 7.3-teorema shartlarini qanoatlantiradi. U holda da aniqlangan shunday chiziqli funksional mavjudki, quyidagilar bajariladi:

1) , ,
2) .
Bu yerdan ning chegaralanganligi va tengsizlik kelib chiqadi. Ikkinchi tomondan,
.
Demak, . ∆
1-natija. chiziqli normalangan fazo va undagi ixtiyoriy belgilangan element bo‘lsin. U holda butun da aniqlangan shunday chiziqli funksional mavjudki,
, (23.2)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. funksionalni bir o‘lchamli qism fazoda quyida-gicha aniqlaymiz:
.
Ko‘rinib turibdiki,
.
Bu yerdan funksionalni butun gacha chiziqli davom ettiramiz. Hosil bo‘lgan funksional (23.2) shartlarni qanoatlantiruvchi funksional bo‘ladi. ∆
Endi chiziqli funksionalning davomiga doir misol qaraymiz.
Misol-1. uzluksiz funksiyalar fazosi va uning qism fazosini qaraymiz. qism fazoda chiziqli funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:
.
funksionalni normasini saqlagan holda davom ettiring.
Yechish. funksionalning normasini hisoblaymiz. Agar bo‘lsa, u holda

bo‘ladi. Shuning uchun

.
Demak,
.
Endi tengsizlikni ko‘rsatamiz. Buning uchun fazoda uzluksiz funksiyalarning

ketma-ketligini qaraymiz. Bu ketma-ketlik uchun quyidagilar o‘rinli:

.
. (23.3)
(23.3) tengsizlikda lar bo‘yicha aniq yuqori chegara olsak,

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Bu ikkala tengsizlikdan tenglikni olamiz. 7.6-misoldagi kabi chiziqli fazoda funksionalni quyidagicha aniqlaymiz:

. (23.4)
Ma’lumki, istalgan uchun funksional funksionalning fazogacha davomi bo‘ladi. funksional uchun Xan-Banax teoremasining tasdig‘i o‘rinlimi? Boshqacha aytganda tenglik qanday lar uchun o‘rinli? fazodagi chiziqli uzluksiz funksionalning umumiy ko’rinishi haqidagi F. Riss - 23.4-teorema, hamda (23.9) tenglikdan foydalansak, (23.4) ko‘rinishdagi davomlar ichida yagona funksional funksionalning normasini saqlagan holda fazogacha davomi bo‘ladi. 7.6-misolda funksionalni (7.1) shartni saqlagan holda cheksiz ko‘p (kontinuum) usul bilan fazogacha davom ettirish mumkin edi.