Chiziqli operatorning sonli tasviri haqida ayrim tasdiqlar va misollar

1-misol. , operatorni qaraymiz.


.
2-xossa. Agar chiziqli chegaralangan operator bo‘lsa, qo‘shma operatorning sonli tasviri uchun

tenglik o‘rinlidir.
Isbot. Avvalo
(3)
munosabatni isbotlaymiz. Faraz qilaylik ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda shunday element topilib, va tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Hilbert fazosidagi o‘z – o‘ziga qo‘shma operator ta’rifidan

ya’ni

ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, agar bo‘lsa u holda o‘rinli ekan. ning ixtiyoriyligidan esa (3) munosabatni hosil qilamiz.
Xuddi shunga o‘xshash
(4)
munosabatni isbotlash mumkin.
(3) va (4) munosabatlardan 2-xossa isboti kelib chiqadi.
3-xossa. birlik operator sonli tasviri uchun

tenglik o‘rinlidir. Agar va istalgan kompleks sonlar bo‘lsa, u holda
(5)
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Birlik operator ta’rifiga ko‘ra ixtiyoriy element uchun bo‘ladi. Shu sababli bo‘ladigan barcha lar uchun

o‘rinli, ya’ni

tenglik o‘rinli.
Endi (5)-tenglikni isbotlaymiz. Istalgan element uchun

tenglik o‘rinli. Bundan esa o‘z navbatida (5) tenglik kelib chiqadi.
4-xossa. O‘z – o‘ziga qo‘shma operator uchun munosabat o‘rinli.
Isbot. Faraz qilaylik, - ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda shunday element topilib, va tengliklar o‘rinli bo‘ladi. o‘z – o‘ziga qo‘shmaligidan

kelib chiqadi. Bu esa 4-xossani isbotlaydi.
5-xossa. Agar chekli o‘lchamli fazo bo‘lsa, u holda kompakt to‘plam bo‘ladi.
Isbot. Yaxshi ma’lumki, chekli o‘lchamli fazoda to‘plam kompakt bo‘lishi uchun uning chegaralangan va yopiq bo‘lishi zarur va yetarlidir. 1-xossaga ko‘ra to‘plam markazi koordinata boshida va radiusi ga teng doirada yotadi, ya’ni chegaralangan to‘plam bo‘ladi. Endi to‘plamning yopiq bo‘lishini isbotlaymiz. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni yopiq to‘plam bo‘lmasin. U holda to‘plamda to‘plamning kamida bitta limitik nuqtasi yotadi. Uni kabi belgilaymiz. U holda shunday

ketma – ketlik topilib,

bo‘ladi. Shu sababli shunday

ketma-ketlik topilib,

bo‘ladi. operatorning va skalyar ko‘paytmani uzluksizligiga hamda dagi birlik sferani kompaktligiga ko‘ra shunday element topilib,

o‘rinli bo‘ladi. Limitning yagonaligiga ko‘ra

bo‘ladi, ya’ni . Bu qarama – qarshilik 5-xossani isbotlaydi.
6-xossa. Agar unitar ekvivalent operatorlar bo‘lsa, u holda

tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, va - unitar ekvivalent operatorlar bo‘lsin. U holda shunday unitar operator topilib,

tenlik o‘rinli bo‘ladi. U holda

munosabatdan 6-xossa isboti kelib chiqadi. Bunda

7-xossa. operatorning nuqtali spektri va sonli tasviri o‘rtasida

munosabat o‘rinlidir.
Isbot. Faraz qilaylik, ixtiyoriy element bo‘lsin. U holda shunday element topilib, va tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Shu sababli

o‘rinli bo‘ladi. Demak, nuqtaning ixtiyoriyligidan

bo‘lishi kelib chiqadi. 7-xossa isbotlandi.
7-xossaga ko‘ra operatorning barcha xos qiymatlari da yotadi. Tabiiy savol paydo bo‘ladi: operator spektrining qolgan qismi haqida nima deyish mumkin? Yaxshi ma’lumki, chegaralangan operator spektri yopiq bo‘ladi. 5-xossaga ko‘ra, agar chekli o‘lchamli fazo bo‘lsa, u holda yopiq bo‘ladi. Agar cheksiz o‘lchamli bo‘lsa, u holda umuman olganda yopiq bo‘lmasligi mumkin.
2-misol. yopiq bo‘lmaydigan operatorga misol keltiramiz. Quyidagi

operatorni qaraymiz. Osongina tekshirish mumkinki

o‘rinlidir. ekanligidan ko‘rsatamiz. o‘z – o‘ziga qo‘shma operator bo‘lganligi uchun 4-xossaga ko‘ra bo‘ladi. Ko‘rinib turibdiki,

o‘rinli. Biroq birorta ham element uchun kvadratik forma 0 qiymatni qabul qilmaydi. Demak,

Shunday qilib,

hamisha ham o‘rinli bo‘lmaydi.