Chiziqli tenglamalar sistemasini Кramer, Gauss usullar bilan yechish

Chiziqli tenglamalar sistemasini Кramer usuli bilan echish.


Uchta noma’lumli chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin:
a₁x+b₁y+c₁z=d₁
a₂x+b₂y+c₂z=d₂
a₃x+b₃y+c₃z=d₃
Asosiy va yordamchi determinantlarni tuzamiz:
a₁ b₁ c₁ d₁ b₁ c₁ a₁ d₁ c₁ a₁ b₁ d₁
= a₂ b₂ c₂ _x= d₂ b₂ c₂ _y= a₂ d₂ c₂ _z= a₂ b₂ d₂
a₃ b₃ c₃ d₃ b₃ c₃ a₃ d₃ c₃ a₃ b₃ d₃


Agar  0 bo’lsa, sistema yagona x=_x/ , y=_y/, z=_z/ yechimlarga ega bo’ladi.
Gauss usuli
Chiziqli tenglamalar sistemasini bo’lganda Кramer usuli bilan yechish qiyinlashadi. Gaussni ketma – ket noma’lumni yo’qotish usuli bilan engilroq echish mumkin.


Mavzuga doir namunaviy misollarni yechimi.

Misol-1. Ushbu determinantni yoyib yozish usuli bilan hisoblang.

4 -2 4 2 12 -10 12
= 10 2 12 =4 -2*(-2)
1 2 2 2 2 1 2


10 2
+4 =4(4-24)+2(20-12)+4(20-2)=8
1 2
Misol-2. Chiziqli tenglamalar sistemani Кramer usuli bilan yeching:
2x-3u=5
3x+2u-4z=-7
x-6y-2z=3
Yechish: Sistemaning asosiy  determinantini hisoblaymiz. Masalan, yoyib yozish usuliga asosan (Laplas teoremasi)
Demak berilgan tenglamalar sistemasi yagona echimga ega. Endi _x, _y, _z determinantlarni hisoblamiz:


5 -3 0 2 5 0
_x= -7 2 -4 = -62 , _y= 3 -7 -4 =62
3 -6 -2 1 3 -2

2 -3 5
_z= 3 2 -7 = -124

1 -6 3
Кramer formulasiga asosan sistemani yechimi x=1, y= -1, z=2 bo’ladi.
Quyidagi tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yeching.

Misol-3.

Birinchi tenglamani mos ravishda 1 ga, -2 ga, -1ga ko’paytirib ikkinchi uchinchi, to’rtinchi tenglamalarga qo’shamiz.

Ikkinchi tenglamani uchunchi teglamaga va ikkinchi tenglamani -2 ga to’rtinchi tenglamani 3 ga ko’paytirib qo’shsak

Uchinchi tenglamani (-5) ga ko’paytirib, to’rtinchi tenglamani 3ga ko’paytirib qo’shsak

oxirgi tenglamadan , 3 tenglamaga qo’ysak , ikkinchi tenglamadan va birinchi tenglamadan echimi kelib chiqadi. Demak, chiziqli tenglamalar sistemasini echimi
(1; 1; -1; 1;).