Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy usul bilan yechish. Кronekker-Кapelli teoremasi

Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy usul bilan yechish.
Кronekker-Кapelli teoremasi.
Bizga uchta noma’lum, uchta chiziqli tenglamalar sistemasini berilgan bo’lsin:
 a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃=B₁ (1)
a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃=B₂
a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃=B₃
bu tenglamalar sistemasini matrisaviy tenglama shaklida quyidagicha yozish mumkin: Ax=B (2)
Bu erda
, ,
agar A maxsusmas matrisa ya’ni uni det A0 bo’lsa, u holda bu matrisaga teskari A^-1 matrisa mavjud va u quyidagicha topiladi:

Bu erda A_ij=(-1)^I+jM_ij, M_ij a_ij elementga mos minor u i^chi satr j^chi ustunni o’chirishdan hosil bo’lgan 2 chi tartibli determinant.
(2) matrisaviy tenglamani ikkala tomonini teskari A^-1 matrisaga ko’paytirib, tenglamani yechimini topamiz x=A^-1B

,

tenglikdan matrisaviy tenglamani yechimi kelib chiqadi:
x₁=1/detA(A₁₁В₁+A₂₁В₂+A₃₁В₃)
x₂=1/detA(A₂₁В₁+A₂₂В₂+A₂₃В₃)
x₃=1/detA(A₃₁В₁+A₂₃В₂+A₃₃В₃)
Кronekker-Кapelli teoremasi.
Bizga n noma’lumli m ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin
a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=c₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=c₂ (1)
a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=c_m Sistemani asosiy va kengaytirilgan matrisalarini tuzamiz:

Teorema. (1) sistema echimga ega bo’lishligi (birgalikda bo’lish) uchun A asosiy matrisa rangini B kengaytirilgan matrisa rangiga teng bo’lishligi zarur va etarlidir. Xususan 1) r(A)=r(B)=n, ya’ni noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda (1) sistema yagona уechimga ega bo’ladi.
2) Agar r(A)=r(B), ya’ni noma’lumlar sonidan kichik bo’lsa, u holda (1) sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi.3)Agar r (A)  r (B) bo’lsa (1) sistema yechimiga ega bo’lmaydi.
Agar (1) tenglamalar sistemasida ozod sonlar bo’lsa, bir jinsli tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi va u har doim birgalikda va trivial yechimga ega bo’ladi. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun (n noma’lumlar soni) bo’lishi zarur va etarlidir.