Chiziqli tenglamalar sistemasini matrisaviy usul bilan yechish. Кronekker-Кapelli teoremasi

,

tenglikdan matrisaviy tenglamani yechimi kelib chiqadi:

x₁=1/detA(A₁₁В₁+A₂₁В₂+A₃₁В₃)

x₂=1/detA(A₂₁В₁+A₂₂В₂+A₂₃В₃)

x₃=1/detA(A₃₁В₁+A₂₃В₂+A₃₃В₃)

Кronekker-Кapelli teoremasi.

Bizga n noma’lumli m ta tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin

a₁₁x₁+a₁₂x₂+...+a_1nx_n=c₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+...a_2nx_n=c₂ (1)

a_m1x₁+a_m2x₂+...a_mnx_n=c_m Sistemani asosiy va kengaytirilgan matrisalarini tuzamiz:



Teorema. (1) sistema echimga ega bo’lishligi (birgalikda bo’lish) uchun A asosiy matrisa rangini B kengaytirilgan matrisa rangiga teng bo’lishligi zarur va etarlidir. Xususan 1) r(A)=r(B)=n, ya’ni noma’lumlar soniga teng bo’lsa, u holda (1) sistema yagona уechimga ega bo’ladi.

2) Agar r(A)=r(B), ya’ni noma’lumlar sonidan kichik bo’lsa, u holda (1) sistema cheksiz ko’p echimga ega bo’ladi.3)Agar r (A)  r (B) bo’lsa (1) sistema yechimiga ega bo’lmaydi.

Agar (1) tenglamalar sistemasida ozod sonlar bo’lsa, bir jinsli tenglamalar sistemasi hosil bo’ladi va u har doim birgalikda va trivial yechimga ega bo’ladi. Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi noldan farqli yechimga ega bo’lishi uchun (n noma’lumlar soni) bo’lishi zarur va etarlidir.