Chizma geometriya fani, uning vazifalari va bakalavrlar tayyorlashdagi o‘rni. Proeksiyalash usullari. Monj usuli

Parallel proyeksiyalashning xossalari

Geometrik shakllarni parallel proyeksiyalashning quyidagi xossalari mavjud:

1. 
   xossa. Nuqtaning parallel proyeksiyasi nuqta bо‘ladi.
   
2. 
   xossa. Proyeksiyalovchi nurda yotuvchi barcha nuqtalarning proyeksiyalari bitta nuqtada bо‘ladi.
   
3. 
   xossa. Proyeksiyalash yо‘nalishiga parallel bо‘lmagan tо‘g‘ri chiziqning proyeksiyasi tо‘g‘ri chiziq bо‘ladi. Masalan, 1.8-rasmda s proyeksiya yо‘nalishiga parallel bо‘lmagan AB tо‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiyalar tekisligi P ga parallel proyeksiyalangan. Bunda AB kesma nuqtalaridan о‘tuvchi nurlar proyeksiyalovchi Q tekislikni hosil qiladi. Bu proyeksiyalovchi tekislik bilan P proyeksiyalar tekisligi A_PB_P kesma bо‘yicha kesishadi.
   

Proyeksiyalash yо‘nalishiga parallel bо‘lgan tо‘g‘ri chiziqning parallel proyeksiyasi nuqta bо‘ladi. 1.7-rasmda СD tо‘g‘ri chiziq kesmasi proyeksiya yо‘nalishi s ga parallel. Uning P dagi proyeksiyasi С_P≡D_P nuqta bо‘ladi.

4. 
   xossa. AB tо‘g‘ri chiziq kesmasiga tegishli E nuqtaning parallel proyeksiyasi E_P shu tо‘g‘ri chiziq proyeksiyasi A_PB_P kesmaning ustida bо‘ladi (1.7-rasm).
   
5. 
   xossa. Agar nuqta tо‘g‘ri chiziq kesmasini biror nisbatda bо‘lsa, bu nuqtaning proyeksiyasi ham kesma proyeksiyasini shunday nisbatda bо‘ladi.
   

Biror С nuqta AB kesmani AC:CB=r:q nisbatda bо‘lsa, unda С_P nuqta A_PB_P kesmani ham A_PC_P:C_PB_P=r:q nisbatda bо‘ladi (1.9-rasm).

1.7-rasm. 1.8-rasm

AB tо‘g‘ri chiziq kesmasini s yо‘nalish bо‘yicha proyeksiyalar tekisligi P ga proyeksiyalaymiz. Bunda proyeksiyalovchi tekislik bilan proyeksiyalar tekisligi P
kesishib, A_PB_P kesmani hosil qiladi. Unda 4-xossaga asosan C∈AB bо‘lgani uchun С_P∈A_PB_P bо‘ladi.
AB kesmaning proyeksiyalovchi tekislikdagi A va С nuqtalaridan АС₁∥А_PB_P vа СB₁∥А_PB_P kesmalarni о‘tkazamiz. Unda hosil bо‘lgan АСС₁ va СВВ₁ uchburchaklar о‘zaro о‘xshash bо‘ladilar. Bu uchburchaklarning о‘xshashligidan АС:АС₁=СB:СB₁
yoki АС:СB=АС₁:СB₁ bо‘ladi. AС₁=A_PС_P va СP₁=С_PB_P bо‘lgani uchun АС:СB=А_ПС_П:С_PB_P=r:q bо‘ladi.

6. 
   xossa. Tо‘g‘ri chiziqlarning kesishuv nuqtasining proyeksiyasi ularning proyeksiyalarining kesishish nuqtasida bо‘ladi. Ya’ni AB∩CD=E bо‘lsa, A_PB_P∩C_PD_P=E_P bо‘ladi (1.9-rasm).
   

Proyeksiyalash yо‘nalishi bо‘yicha АB va СD kesmalarining A_PB_P va С_PD_P proyeksiyalarini proyeksiyalar tekisligi P dagi proyeksiyalarni yasaymiz. Kesmalarni
proyeksiyalovchi tekisliklar о‘zaro EE_P tо‘g‘ri chiziq bо‘yicha kesadi, bunda EE_P∥С bо‘lib, u E nuqtani proyeksiyalovchi nuri bо‘ladi. АB va СD kesmalarining kesishuvidan hosil bо‘lgan E nuqtaning proyeksiyalar tekisligi P dagi proyeksiyasi E_P
bо‘ladi. 3-xossaga asosan E∈АB va E∈СD bо‘lgani uchun E_P∈A_PB_P va E_P∈C_PD_P bо‘lishi shart. Demak, E_P nuqta A_PB_P va C_PD_P kesmalar uchun umumiy nuqtadir.

7. 
   xossa. Parallel tо‘g‘ri chiziqlarning tekislikdagi proyeksiyalari ham parallel
   

bо‘ladi. Agar AB∥СD bо‘lsa, A_PB_P∥С_PD_P bо‘ladi. 1.10-rasmda s yо‘nalish bо‘yicha AB va СD tо‘g‘ri chiziq kesmalarining proyeksiyalar tekisligidagi A_PB_P va C_PD_P proyeksiyalari yasalgan. Hosil bо‘lgan AB va СD tо‘g‘ri chiziq kesmalarining
proyeksiyalovchi tekisliklari proyeksiyalar tekisligi P bilan kesishganda A_PB_P ∥ C_PD_P kesmalar hosil bо‘ladi.

8. 
   xossa. Parallel tо‘g‘ri chiziq kesmalarining nisbati bu kesmalar
   

proyeksiyalarining nisbatiga teng bо‘ladi. Ya’ni AB∥СD bо‘lib, AB:СD=q bо‘lsa, A_PB_P:C_PD_P=q bо‘ladi (1.10-rasm). Bunda 3-xossaga asosan A_PB_P∥C_PD_P xosil bо‘ladi. AB va СD tо‘g‘ri chiziq kesmalarining proyeksiyalovchi tekisliklarida AE
(AE∥A_PB_P) va CF (CF∥C_PD_P) kesmalarni о‘tkazamiz. U holda ABE va СDF uchburchaklarning parallelligi va о‘xshashligidan AB:AE=СD:СF yoki AB:CD=AE:CF=q kelib chiqadi. Demak, AB:CD=A_PB_P:C_PD_P=q bо‘ladi.⁵

1.9-rasm 1.10-rasm