Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bogʻlanish

Dekart va qutb koordinatalari orasidagi bogʻlanish.

a) Parabola

kanonik tenglama bilan berilgan bo’lsa, qutbni parabola fokusiga joylashtirib, qutb o’qi sifatida abssissa o’qini olib parabola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozaylik.Agar biz

almashtirishlar bajarsak

tengliklar o’rinli bo’ladi. Bu yerda nuqtaning qutb koordinatalari
bo’lib, agar nuqta parabolaga tegishli bo’lsa, uning fokal radiusiga tengdir. Biz

tenglikda ning nuqtadan direktrisagacha bo’lgan masofaga tengligini hisobga olib ifodani yuqoridagi tenglikka qo’ysak

munosabatni hosil qilamiz. Bu munosabat parabolaning qutb

koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir.
b) Ellipsning qutb koordinatalar sistemasidagi tenglamasini keltirib chiqaramiz. Buning uchun qutbni ellipsning chap fokusiga joylashtirib, abssissa o’qini qutb o’qi sifatida olamiz. Ellipsning

kanonik tenglamasini qutb koordinatalar sistemasiga o’tkazish uchun

almashtirishlar yordamida yangi dekart koordinatlar sistemasini kiritamiz. Bu koordinatalar sistemasi va qutb koordinatalar orasidagi bog’lanish boshi

formulalar yordamida beriladi. Ellipsning nuqtasi uchun chap fokal radius uning qutb radiusiga tengligidan foydalanib

tenglikni yozamiz. Bu tenglikdagi ifodani

tenglikka qo’ysak

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenglikdan foydalandik.
в) Giperbola tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun
uning har qismi uchun mos ravishda qutb koordinatalar sistemasi kiritamiz. Uning o’ng qismi uchun qutb boshini giperbolaning ung fokusiga joylashtiramiz va abssissa o’qini qutb o’qi sifatida olamiz.
Giperbola nuqtasi uchun qutb radiusi uning o’ng fokal radiusiga teng bo’lganligi uchun

ifodani hosil qilamiz.Biz bilamizki,agar dekart koordinatalar sistemasi uchun qutb boshi koordinata boshida joylashgan va qutb o’qi abssisa o’qi bilan ustma-ust tushsa,qutb koordinatalar sistemasi va koordinatalar sistemasi orasidagi bog’lanish

formulalar yordamida beriladi.Bu yangi koordinatalar sistemasi va giperbola tenglamasi berilgan koordinatalar sistemasi orasidagi bog’lanish esa

ko’rinishda bo’ladi.Biz bu tengliklarning birinchisidan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz.Yuqoridagi ifodani bu tenglikga qo’ysak

tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda

tenglikdan foydalandik.
Biz giperbola chap shoxining tenglamasini qutb koordinatalar sistemasida yozish uchun qutb boshini chap fokusga joylashtiramiz va abssissa o’qini qarama-qarshi yonalish bilan qutb o’qi sifatida olamiz.Biz agar



formulalar bilan yangi dekart koordinatalar sistemasi kiritsak,ular uchun

formulalar o’rinli bo’ladi.Bu yerda qurb radiuas chap fokal radiusga teng bo’lganligi uchun

tenglik o’rinli bo’ladi.Bu tenglikdagi ning ifodasini yuqoridagi formulardan kelib chiqadiagan

tenglikga qo’yib

tenglamani hosil qilamiz.Bu yerda ham

tenglik o’rinlidir.
Demak, qutb koordinatalar sistemasida mos ravishda tanlanganda har qanday ikkinchi tartib chiziq tenglamasini

ko’rinishda yozish mumkin ekan.Bu tenglama bo’lsa parabola, bo’lganda ellips va nihoyat bo’lganda giperbola tenglamasidir.
Chizma-4

Ellips, giperbola va parabolaning urinmalari

Bu chiziqlarning har biri o’ziga tegishli har bir nuqtaning atrofida birorta differensiallanuvchi funksianing grafigi bo’ladi. Shuning uchun, bu chiziqlar urinmalarining tenglamalarini tuzishda biz maktab kursidan ma’lum bo’lgan

tenglamadan foydalanishimiz mumkin. Misol uchun ellipsning ordinatalari manfiy bo’lmagan nuqtalardan iborat qismi

,

funksianing grafigi bo’ladi. Bu funksianinig hosilasini topsak, u

ko’rinishda bo’ladi. Bu ifodalarni hisobga olib, ellipsga tegishli nuqtadagi urinma tenglamasini yozamiz:
.
Bu tenglamada

tenglikni hisobga olsak, yuqoridagi tenglama

ko’rinishga keladi.
Giperbola va parabola uchun urinma tenglamalarini keltirib chiqarish o’quvchilarga mustaqil ish sifatida havola etiladi. Ularning nuqtadagi urinmalari tenglamalari mos ravishda quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

Ellips, giperbola va parabolaning optik xossalari

Biz ellipsning quyidagi optik xossasini isbotlaymiz

Teorema. Ellipsning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so’ng ikkinchi fokusga tushadi.
Teorema.Giperbolaning bitta fokusidan chiquvchi nur sinishdan so’ng ikkinchi fokusga tushadi.
Teorema. Parabolaning fokusidan chiqubchi nur sinishdan so’ng uning o’qiga parallel to’g’ri chiziq bo’ylab harakatlanadi.