Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

r

1

r

c

r

2

r

m

1

m

2

Шякил 57.3.

m

m

m

m

m

m

m

m

m

=

≈

+

=

+

=

2

1

2

2

2

1

2

1

1

µ

   

         (57.15) 

yaza bilərik. Bu isə o deməkdir ki, nüvənin kütləsini sonsuz böyük (m

2

→∞) hesab etsək, 

µ

  gətirilmiş kütlə elektronun m kütləsinə  bərabər götürülə bilər. Yəni elə bil ki, nüvə 

sükunətdədir və elektron onun ətrafında hərəkət edir. Elektron ilə nüvə arasındakı 

elektrostatik qarşılıqlı təsirin potensial enerjisi isə (46.5) düsturu ilə təyin olunur. 

Deməli, (57.14) Laqranj funksiyası aşağıdakı şəklə düşür: 

( )

r

U

r

m

L

−

=

2

2

&r

. 

 

         (57.14a) 

Beləliklə, məsələ sadələşərək elektronun sükunətdə olan nüvə  ətrafında hərəkəti 

haqqında məsələyə gətirilir. Nüvənin hərəkətini nəzərə almaq üçün (57.14a) düsturunda 

elektronun m kütləsini 

µ

 gətirilmiş kütlə ilə əvəz etmək lazımdır. 

Atom sferik simmetriyaya malik sistem olduğundan bu məsələni həll etmək üçün 

sferik koordinat sistemindən istifadə etmək əlverişlidir. Bu koordinat sistemində (57.14a) 

 

306 

Laqranj funksiyası aşağıdakı ifadə ilə təyin olunur: 

(

)

( )

r

U

r

r

r

m

2

2

2

2

2

L

−

+

+

=

θ

ϕ

θ

2

sin

2

&

&

&

.                 (57.16) 

Burada r,

θ

,

ϕ

 (0

≤r≤∞, 0≤

θ

≤

π

, 0

≤

ϕ

≤2

π

) – elektronun sferik koordinatlarıdır. 

eyildir, yəni 

ϕ

 – dair

(57.16) ifadəsindən görünür ki, Laqranj funksiyası 

ϕ

 bucağından asılı d

əvi koordinatdır. Ona görə də 

0

=

∂L

 və 

∂

ϕ

0

=

∂

∂

−

∂

∂

ϕ

ϕ

L

L

dt

d

&

 

 

           (57.17) 

Laqranj tənliyindən alınır ki, 

ϕ

ϕ

&

∂

∂

=

L

p

 ümumiləşmiş impulsu saxlanmalıdır: 

const

mr

L

p

=

=

∂

∂

=

θ

ϕ

ϕ

ϕ

2

2

sin

&

&

.   

         (57.18) 

Digər tərəfdən məlumdur ki, p

ϕ

=M

Z

. Burada M

Z

 elektronun impuls momentinin Z oxu 

üzrə proyeksiyasıdır. Doğrudan da, 

[ ]

const

p

mr

p

r

M

Z

=

Z

=

=

=

ϕ

θ

ϕ

2

2

sin

 

&

r

r

.                (57.19) 

Deməli, hidrogenəbənzər atomda hərəkət zamanı elektronun 

 M

Z

 

impuls momentinin

proyeksiyası saxlanır. Vektorial hasilin tərifinə görə  M

r

 

vektoru  rr   və  pr  vektorlarına perpendikulyar olmalı

. 

Əgər  Z  xunu M

dır

o

 

r

 vektoru boyunca yönəltsək, onda 

const

M

M

Z

=

=

r

  ar, yəni impuls momenti qiymət və 

anmış olar. Bu isə o deməkdir ki, 

hidrogenəbənzər atomda elektronun hərəkəti  M

ol

istiqamətcə saxl

r

 vektoruna 

perpendikulyar olan və  rr   və  pr  vektorların  yerləşdiyi 

müstəvi üzərində baş verir (şə l 57.4). Ona görə  də bu 

hərəkəti təsvir etmək üçün r,

ϕ

 polyar koordinatlardan 

istifadə etmək əlverişlidir. 

Biz indi isbat etməliyik ki, elektronun

ın

ki

 trayektoriyası 

elli

ordinatlarda ellipsin tənliyini 

z

y

х

О

M

r

P

r

rr

z

y

х

О

M

r

P

r

rr

Шякил 

ps  şəklindədir. Bunun üçün hər  şeydən  əvvəl polyar ko

tapaq. Tərifə görə  məlumdur ki, ellipsin üzərindəki istənilən nöqtədən fokuslara qədər 

olan məsafələrin cəmi sabit qalır:  r+r

′=const. (şəkil 57.1). Ellipsin fokusları arasındakı 

məsafənin onun böyük oxunun uzunluğuna olan nisbətinə ellipsin eksentristeti deyilir: 

AD

BC

=

ε

. 57.1 şəklindən görünür ki, r+r

′=2

α

=AD. Burada 

α

 – ellipsin böyük 

udur. Onda BC=

ε

⋅AD=2

αε

 yaza bilərik. 

Kosinuslar teoreminə görə 

∆BEC-dən 

yarımox

ε

)

2

+2r

⋅2

αε

⋅cos

ϕ

 

olar. r+r

′=2

α

 olduğunu burada

r

′

2

=r

2

+(2

α

 nəzərə alsaq 

 

307

r(1+

ε

cos

ϕ

)=

α

(1-

ε

2

) 

yaza bilərik. Burada 

p=

α

(1-

ε

) 

 

 

       (57.19) 

işarə edərək 

2

ϕ

ε

cos

1

+

=

r

p

   

 

            (57.20) 

alırıq ki, bu da (r,

ϕ

) polyar koordinatlarda ellipsin tənliyidir. (57.20) ifadəsində  P – 

hidrogenəbənzər atomda elektronun trayektoriyası ellipsin 

(57

ellipsin parametri adlanır. 

İndi isə göstərək ki, 

.20) tənliyi ilə ifadə olunur. Bu məqsədlə Zommerfeldin (57.6) kvant şərtlərindən 

istifadə edəcəyik. Hidrogenəbənzər atom üçün bu şərtlər aşağıdakı kimi yazılır: 

∫

=

=

h

π

ϕ

n

h

n

d

p

2

,   

               (57.

ϕ

ϕ

ϕ

21) 

∫

=

=

h

r

r

r

n

h

n

dr

p

π

2

,   

               (57.22) 

∫

=

=

h

θ

θ

θ

π

θ

n

h

n

d

p

2

.   

                (57.23) 

Burada n

ϕ

,n

r

,n

θ

 – tam qiymətlər alan kvant ədədləridir. 

d etdiyimiz kimi, baxılan hərəkət 

zam

Əvvəlcə (57.21) kvant şərtinə baxaq. Yuxarıda qey

anı  p

ϕ

 ümumiləşmiş impulsu saxlanır, yəni  p

ϕ

=const. Ona görə  də (57.21) 

düsturundan 

∫

∫

=

⋅

=

=

h

n

p

d

p

d

p

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

π

ϕ

ϕ

2

 

və ya 

p

ϕ

=n

ϕ

ħ 

    

 

 

 

(57.24) 

alınır. Deməli, elektronun p

ϕ

 ümumiləşm

u kəsil əz dey ħ Plank sabitinin tam 

rəkətinə uyğu

ktronun hərəkəti mərkəzi sahədə baş verdiyi üçün onun tam enerjisi 

sax

iş impuls

m

il, 

misllərinə  bərabər olan diskret qiymətlər almalı, yəni kvantlanmalıdır. Qeyd edək ki, 

hidrogenəbənzər atomda elektron üçün p

ϕ

=0 olduqda elektron nüvənin üzərinə düşər və 

atom öz mövcudluğunu itirərdi. Doğrudan da, 

0

2

=

=

ϕ

ϕ

&

mr

p

 olsa, 

ϕ

=const alınır ki, bu 

da elektronun radius-vektor boyunca düzxətli hə

ndur və bu halda elektrona 

yalnız nüvənin Kulon cazibə qüvvəsi təsir edir. Deməli, elektronun nüvənin üzərinə 

düşməməsi üçün, o, nüvənin ətrafında qapalı əyrixətli trayektoriya üzrə hərəkət etməlidir, 

yəni  p

ϕ

≠0 olmalıdır. Belə  hərəkət zamanı elektrona nüvənin cazibə qüvvəsinin  əksi 

istiqamətində yönəlmiş  mərkəzdənqaçma qüvvəsi təsir edir. Bu mülahizələrdən aydın 

olur ki, n

ϕ

 azimutal kvant ədədi sıfra bərabər qiymət ala bilməz (n

ϕ

=0) və n

ϕ

=1,2,3,… tam 

qiymətlər almalıdır. 

Baxılan halda ele

lanır. Bu halda tam enerji Hamilton funksiyasına bərabərdir. (r,

ϕ

) polyar 

koordinatlarda hidrogenəbənzər atomda elektronun Hamilton funksiyası  aşağıdakı ifadə 

ilə təyin olunur: 

r

Ze

mr

p

m

p

E

H

r

2

2

2

2

2

2

−

+

=

=

ϕ

. 

 

         (57.25) 

 

308 

Burada Ё46-dan fərqli olaraq potensial enerjinin ifadəsində 

0

4

1

πε

 vuruğunu sadəlik 

naminə yazmadıq. 

(57.24)-ü nəzərə almaqla (57.25)-dən 

r

mZe

r

n

mE

p

r

2

2

2

2

2

2

+

−

=

h

ϕ

 

 

         (57.26) 

yaza bilərik. Digər tərəfdən 

h

&

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

n

dt

d

mr

mr

p

=

=

=

2

2

, 

dt

mr

n

d

2

h

ϕ

ϕ

=

, 

dt

dr

m

r

m

p

r

=

= &

, 

r

p

mdr

dt

=

 

ifadələrinə əsasən 

r

r

p

dr

r

n

p

mdr

mr

n

d

2

2

h

h

ϕ

ϕ

ϕ

=

=

 

 

    (57.27) 

yaza bilərik. Bu ifadəni inteqrallasaq və (57.26)-nı nəzərə alsaq 

0

2

2

2

2

2

0

2

2

2

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

+

+

−

=

+

=

∫

∫

r

mZe

r

n

mE

dr

r

n

P

dr

r

n

r

h

h

h

         (57.28) 

olar. Burada 

ϕ

0

 – inteqrallama sabitidir və ümumiliyi pozmadan 

ϕ

-nin hesablanması 

başlanğıcını elə seçə bilərik ki, 

ϕ

0

=0 olsun. 

(57.28) düsturunda kökaltı ifadəni aşağıdakı kimi çevirək: 

2

2

2

2

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

x

a

n

e

Z

m

n

mZe

r

n

mE

r

mZe

r

n

mE

−

=

+

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

+

−

h

h

h

h

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

           (57.29) 

Burada 

2

2

4

2

2

2

h

ϕ

n

e

Z

m

mE

a

+

=

,   

               (57.30) 

h

h

ϕ

ϕ

n

mZe

r

n

x

2

−

=

 

 

         (57.31) 

 

309

işarə edilmişdir. (57.31)-ə əsasən 

dx

n

r

dr

dr

r

n

dx

h

h

ϕ

ϕ

2

2

,

−

=

−

=

 

               (57.32) 

yaza bilərik. 

(57.29) və (57.32)-ni (57.28)-də yazmaqla 

a

x

x

a

dx

arccos

2

2

=

−

−

=

∫

ϕ

 

 

         (57.33) 

alırıq.  a  və  x üçün (57.30) və (57.31) ifadələrini (57.33)-də yazaraq və 

h

ϕ

n

mZe

2

 

kəmiyyətinə ixtisar edərək 

4

2

2

2

2

2

2

1

1

arccos

e

Z

m

n

mE

mZe

n

r

n

h

h

h

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⋅

+

−

⋅

=

 

                       (57.34) 

alırıq. Burada 

4

2

2

2

2

1

e

mZ

n

mE

h

ϕ

ε

⋅

+

=

,   

 

     (57.35) 

2

2

2

mZe

n

p

h

ϕ

=

 

 

 

      (57.36) 

işarə etsək 

ε

ϕ

1

arccos

−

=

r

p

 

 

         (57.37) 

olar. Buradan isə 

ϕ

ε

ϕ

ε

cos

1

,

cos

1

=

−

=

−

r

p

r

p

 

və ya 

ϕ

ε

cos

1

+

=

r

p

   

 

           (57.38) 

alırıq ki, bu da polyar koordinatlarda ellipsin (57.20) tənliyi ilə üst-üstə düşür. Beləliklə, 

hidrogenəbənzər atomda elektronun hərəkət trayektoriyası ellipsdir və bu ellipsin 

parametrləri 

ε

  və  P (57.35) və (57.36) ifadələrinə  əsasən elektronun e yükündən,  m 

kütləsindən və E enerjisindən asılıdır. 

(57.38) ifadəsinə əsasən elektronun nüvədən olan (nüvə ellipsin fokuslarından birində 

yerləşir) ən kiçik və ən böyük məsafəsini tapmaq olar. Bu məqsədlə (57.38)-i 

ϕ

ε

cos

1

+

=

P

r

   

 

          (57.39) 

 

310 

kimi yazaq. Buradan görünür ki, 

ϕ

=0 olduqda 

ε

+

=

1

min

P

r

, 

ϕ

=

π

 olduqda isə 

ε

−

=

1

max

p

r

 

olur. r

min

+r

max

=2

α

 olduğundan 

2

1

2

1

1

2

ε

ε

ε

α

−

=

−

+

+

=

p

p

p

 və ya ellipsin böyük yarımoxu 

üçün  

2

1

ε

α

−

=

p

 

 

 

        (57.40) 

ifadəsini tapırıq. 

İndi isə ellipsin kiçik yarımoxunu (

β

) tapaq. 57.1 şəklindən görünür ki, r=r

′=

α

 

nöqtəsi üçün r

2

=

β

2

+(

αε

)

2

 və buradan da 

2

1

ε

α

β

−

=

   

 

         (57.41) 

olur. 

Elektronun enerjisini tapmaq üçün (57.22) kvant şərtinə baxaq. Burada inteqrallama 

r-in bütün dəyişmə oblastı üzrə, yəni perihelidə  r

min

 qiymətindən afelidə 

r

max

 qiymətinə 

qədər və  əksinə, periheliyə qayıtdıqda 

r

max

 qiymətindən 

r

min

-a qədər aparılmalıdır. Ona 

görə də (57.22) ifadəsini 

∫

∫

=

=

max

min

2

r

r

r

r

r

h

n

dr

p

dr

p

   

              (57.42) 

kimi yaza bilərik. (57.26)-nı (57.42)-də yazaq və  

a=2mE, b=2mZe

2

, 

c=-n

ϕ

2

ħ

2

 

                 (57.43) 

işarə edək. Onda 

dr

r

c

br

ar

dr

p

r

r

r

r

r

∫

∫

+

+

=

max

min

max

min

2

   

     (57.44) 

olar. 

Sonuncu inteqralı hesablamaq üçün 

X=ax

2

+

bx+c  işarə edərək riyaziyyatdan məlum 

olan aşağıdakı ifadələrdən istifadə edəcəyik: 

∫

∫

⋅

+

+

=

2

1

2

1

2

1

2

1

2

X

x

dx

c

X

dx

b

X

x

dx

X

∫

,                  (57.45) 

∫

−

−

−

−

=

;

4

2

arcsin

1

2

2

1

ac

b

b

ax

a

X

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

            (57.46) 

ac

b

b

ax

ac

b

a

4

2

 ,

4

 ,

0

2

2

−

<

+

>

<

 

0

4

,

0

  

;

4

2

arcsin

1

2

2

2

1

>

−

<

−

+

−

=

⋅

∫

ac

b

c

ac

b

x

c

bx

c

X

x

dx

.  (57.47) 

(57.45)-(57.47) ifadələrini (57.44)-də nəzərə alsaq 

 

311

{

max

min

max

min

4

2

arcsin

4

2

arcsin

2

2

2

2

r

r

r

r

r

ac

b

r

c

br

c

ac

b

b

ar

a

b

c

br

ar

dr

p

⎭

⎬

⎫

−

+

−

+

+

−

−

−

−

+

+

+

=

∫

    (57.48) 

olar. 

  şərti trayektoriyanın "dönüş nöqtəsini" təyin edir. Belə ki, həmin 

nöqtədə r(t) funksiyası artmaqdan azalmaya keçir və ya əksinə. Başqa sözlə, 

 şərti 

r=r

0

=

= r

m

p

r

&

0

=

r&

max

 və ya r=r

min

 olduğunu göstərdiyi üçün 

0

2

2

max

min

2

2

2

2

=

−

+

=

r

r

r

r

n

r

mZe

mE

p

h

ϕ

 

            (57.49) 

olmalıdır. (57.26) ifadəsində 

ε

+

=

1

min

p

r

  və 

ε

−

=

1

max

p

r

 yazmaqla da p

r

 ümumiləşmiş 

impulsu üçün (57.49) şərtini bilavasitə göstərmək olar. Onda (57.26), (57.43) və (57.44) 

ifadələrinə əsasən 

0

2

2

max

min

max

min

2

2

2

2

2

=

−

+

=

+

+

r

r

r

r

r

n

r

mZe

mE

r

c

br

ar

h

ϕ

    (57.50) 

yaza bilərik. Deməli, (57.48) ifadəsində birinci hədd sıfra bərabər olur. Bu ifadədə digər 

iki həddi hesablamaq üçün nəzərə almaq lazımdır ki, r

min

 və r

max

 kəmiyyətləri ar

2

+br+c=0 

tənliyinin kökləridir: 

−

+

±

=

=

−

±

−

=

r

r

r

r

a

ac

b

b

r

min

max

2

 ,

 ,

2

4

.           (57.51) 

(57.51)-i nəzərə almaqla aşağıdakı çevrilmələri aparaq: 

1

2

4

2

4

1

4

2

2

2

2

m

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

±

−

⋅

−

−

=

−

−

−

b

a

ac

b

b

a

ac

b

ac

b

b

ar

    (57.52) 

(

)

(

)

(

)

)

53

.

57

(

1

4

1

1

4

4

4

4

1

4

4

4

1

4

4

2

4

2

4

1

4

2

4

1

4

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

m

m

m

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

−

=

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

−

+

−

=

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

±

−

+

−

=

=

−

±

−

⋅

−

+

−

=

⋅

−

+

−

=

−

+

b

ac

b

ac

b

b

ac

b

b

b

ac

b

b

ac

ac

b

b

ac

b

b

b

ac

ac

b

b

ac

b

b

a

ac

b

c

ac

b

b

r

ac

b

c

ac

b

ac

b

r

c

br

 

(57.50), (57.52) və (57.53) ifadələrini (57.48)-də nəzərə alsaq 

 

312 

[

]

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−

=

=

−

−

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−

=

∫

c

a

b

c

a

b

c

a

b

dr

p

r

r

r

2

2

2

2

1

arcsin

)

1

arcsin(

2

max

min

π

π

π

   (57.54) 

olar. 

(57.43) və (54.22) ifadələrini (57.54)-də nəzərə alsaq 

h

n

n

mE

mZe

dr

p

dr

p

r

r

r

r

r

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

−

−

=

=

∫

∫

max

min

2

2

2

2

h

ϕ

π

        (57.55) 

olar. Buradan isə 

(

)

h

r

n

n

mE

mZe

+

=

−

−

ϕ

2

2

 

və ya 

)

32

(

  

,

2

2

2

2

0

2

4

2

2

2

4

2

n

e

mZ

E

n

e

mZ

E

n

n

h

h

ε

π

−

=

−

=

                 (57.56) 

alınır. Burada 

n=n

ϕ

+n

r

  

 

 

      (57.58) 

işarə edilmişdir. Azimutal n

ϕ

 və radial n

r

 kvant ədədlərinin cəminə bərabər olan n – baş 

kvant ədədi adlanır. 

(57.56)-nı (57.35)-də nəzərə alsaq ellipsin eksentristeti üçün 

2

2

2

1

n

n

ϕ

ε

=

−

 

 

 

      (57.58) 

ifadəsini yaza bilərik. 

Yuxarıda qeyd olunduğu kimi, n

ϕ

 kvant ədədi n

ϕ

=0 qiyməti ala bilməz. Ona görə də 

(57.57) ifadəsindən görünür ki, n baş kvant ədədinin verilmiş qiymətində n

ϕ

 və n

r

 kvant 

ədədləri aşağıdakı qiymətləri ala bilər: 

n

ϕ

=1,2,3,…n;  n

r

=n-1, n-2, n-3,…,0 

            (57.59) 

Deməli, (57.21) kvant şərti elliptik orbitlər üzrə  hərəkət edən elektronun impuls 

momenti, (57.22) kvant şərti isə bu ellipslərin eksentristeti üçün müəyyən məhdudiyyət 

qoyur. (57.24), (57.56) və (57.58) şərtləri elliptik orbitlərin enerjisini və digər 

xarakteristikalarını təyin etməyə imkan verir. 

Polyar koordinatlarda elektronun kinetik enerjisi aşağıdakı düsturla təyin olunur: 

(

) (

)

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛

+

=

+

=

+

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

2

2

r

p

p

m

r

r

m

y

x

m

W

r

к

ϕ

ϕ

&

&

&

&

       (57.60) 

digər tərəfdən 

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

d

dr

r

p

d

dr

m

dt

d

d

dr

m

dt

dr

m

r

m

p

r

2

=

=

=

=

=

&

&

          (57.61) 

olduğunu (57.60)-da nəzərə alsaq 

 

313

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

+

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

=

1

1

2

2

2

2

2

ϕ

ϕ

d

dr

r

mr

p

W

к

 

 

        (57.62) 

yaza bilərik. 

(57.19) və (57.20) ifadələrinə əsasən ellipsin polyar koordinatlarda tənliyini aşağıdakı 

kimi yazaq: 

2

1

cos

1

1

1

ε

ϕ

ε

α

−

+

⋅

=

r

 

 

             (57.63) 

(57.63) tənliyinin natural loqarifmini tapaq və alınan ifadəni 

ϕ

 üzrə diferensiallayaraq: 

ϕ

ε

ϕ

ε

ϕ

cos

1

sin

1

+

=

d

dr

r

 

 

            (57.64) 

(57.63) və (57.64) ifadələrindən (57.62)-də istifadə etməklə kinetik enerji üçün aşağıdakı 

ifadəni yazmaq olar: 

(

)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

−

=

ϕ

ε

ε

ε

α

ϕ

cos

2

1

1

2

2

2

2

2

m

p

W

к

. 

             (57.65) 

(57.63) ifadəsini nəzərə alaraq isə elektronun potensial enerjisi üçün aşağıdakı 

düsturu yazmaq olar: 

2

2

2

1

cos

1

ε

ϕ

ε

α

−

+

⋅

−

=

−

=

Ze

r

Ze

W

p

.  

        (57.66) 

(57.65) və (57.66) düsturlarına  əsasən elektronun tam enerjisi üçün aşağıdakı ifadə 

alınır: 

(

)

(

)

(

)

(

)

.

cos

1

1

1

2

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

ϕ

ε

ε

α

ε

α

ε

α

ε

ε

α

ϕ

ϕ

⋅

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

+

+

−

−

+

⋅

−

=

+

=

Ze

m

p

Ze

m

p

W

W

W

p

к

       (57.67) 

Tam enerji saxlandığı üçün onun qiyməti zamandan və deməli, 

ϕ

 bucağından asılı 

olmayan sabit ədəd olmalıdır. Bu isə o deməkdir ki, (57.67) ifadəsində cos

ϕ

-nin əmsalı 

sıfra bərabər olmalıdır: 

(

)

(

)

0

1

1

2

2

2

2

2

2

=

−

−

−

ε

α

ε

α

ϕ

Ze

m

p

.   

          (57.68) 

Buradan ellipsin böyük yarımoxu üçün 

(

)

2

2

2

1

ε

α

ϕ

−

=

mZe

p

 

 

            (57.69) 

ifadəsini tapırıq. (57.68) və (57.69) ifadələrinə  əsasən tam enerji üçün (57.67) düsturu 

aşağıdakı şəklə düşür: 

 

314 

(

)

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−

+

−

=

1

2

1

1

2

2

2

ε

ε

α

Ze

E

 

 

      (57.70) 

və ya 

)

8

(

  

,

2

0

2

2

α

πε

α

Ze

E

Ze

E

−

=

−

=

. 

 

      (57.71) 

Beləliklə, ellips üzrə  hərəkət zamanı elektronun tam enerjisi ellipsin yalnız böyük 

yarımoxundan asılıdır və özü də bu, çevrə üzrə  hərəkət zamanı çevrənin radiusundan 

asılılığa oxşayır (Ё46). 

(57.56) ifadəsindən görünür ki, (57.21) və (57.22) kimi iki kvant şərtinin tətbiq 

edilməsinə baxmayaraq son nəticə dairəvi orbitlər üçün alınmış (55.6) düsturundan heç nə 

ilə  fərqlənmir. Belə ki, enerji yenə  də bir dənə  n kvant ədədindən asılı olur. Lakin bu 

halda baş kvant ədədi adlanan n iki dənə  n

ϕ

  və  n

r

 kvant ədədlərinin cəminə  bərabərdir. 

Belə  nəticənin alınması onunla əlaqədardır ki, elektronun ellips üzrə  hərəkəti  şərti 

periodik hərəkətin cırlaşmış halıdır. Doğrudan da, müstəvi üzərində  cırlaşmış  şərti 

periodik hərəkət qapanmayan Lissaju fiquru üzrə baş verdiyi halda, ellips üzrə  hərəkət 

sırf periodik hərəkət olur. Göstərmək olar ki, (57.56) düsturu ilə ifadə olunan nəticə n baş 

kvant ədədinin hər bir qiyməti üçün bir-birinin üzərinə düşən n dənə enerji səviyyəsinin 

olduğunu göstərir. Buna inanmaq üçün göstərək ki, hər bir n qiymətinə böyük yarımoxu 

eyni olan n sayda orbit uyğun gəlir. Doğrudan da (57.35), (57.36) və (57.56)-nı (57.40)-

da yazaraq ellipsin böyük yarımoxu üçün 

Z

a

n

mZe

n

E

Ze

0

2

2

2

2

2

2

=

⋅

=

−

=

h

α

   

           (57.72) 

ifadəsini alırıq. Burada 

2

2

0

me

a

h

=

  kəmiyyəti (55.5) düsturu ilə  təyin olunan birinci Bor 

orbitinin radiusudur. 

Qeyd edək ki, (57.72) ifadəsini (57.56) və (57.71) və ya (57.24), (57.58) və (57.69) 

düsturlarından istifadə etməklə də tapmaq olar. 

Beləliklə, orbitin böyük yarımoxunun qiyməti n baş kvant ədədinin kvadratı ilə düz 

mütənasibdir. 

Ellipsin kiçik yarımoxunu hesablamaq üçün isə (57.35), (57.56) və (57.72)-ni (57.41)-

də nəzərə almaq lazımdır. Onda 

Z

a

nn

n

n

mZe

n

0

2

2

2

ϕ

ϕ

β

=

⋅

=

h

 

 

       (57.73) 

alınır. Qeyd edək ki, (57.72) və (57.58)-dən istifadə edərək (57.73)-ü dərhal yazmaq olar. 

Hidrogen atomu üçün Z=1 olduğundan (57.72) və (57.73) ifadələri aşağıdakı  şəklə 

düşür: 

α

=n

2

a

0

,  

 

 

   (57.72a) 

β

=nn

ϕ

a

0

. 

 

 

    (57.73a) 

(57.72) və (57.73) ifadələrinin müqayisəsindən görünür ki, hidrogenəbənzər atomda 

elektronun orbitinin böyük yarımoxu yalnız  n baş kvant ədədinin kvadratından asılı 

 

315

olduğu halda, kiçik yarımox  n baş  və  n

ϕ

 azimutal kvant ədədlərinin hasilindən asılıdır. 

n=n

ϕ

 olduqda 

α

=

β

 olur və orbit çevrədir.  n

ϕ

=0 olduqda b=0 və elliptik orbit düzxətli 

trayektoriyaya çevrilir və elektron bu düz xətt üzrə  rəqsvari hərəkət etməlidir. Bor 

nəzəriyyəsinə görə belə trayektoriya ola bilməz. Çünki belə trayektoriya üzrə  hərəkət 

edən elektron nüvənin üzərinə düşməlidir. Ona görə  də yuxarıda qeyd edildiyi kimi, 

n

ϕ

=1,2,3,… sıfırdan fərqli tam qiymətlərini alır. 

Beləliklə, (57.59) şərtindən göründüyü kimi, n baş kvant ədədinin hər bir qiymətinə 

və deməli, hər bir böyük yarımoxa bir-birindən eksentristetlə fərqlənən uzunsov ellipsdən 

çevrəyə qədər n sayda müxtəlif orbit uyğun gəlir. Məsələn, 

1. 

n=1; 

n

ϕ

=1,  n

r

=0; 

α

=

β

=a

0

/Z     – 

çevrə 

 

2. 

n=2; 

n

ϕ

=1,  n

r

=1; 

α

=4a

0

/Z,  

β

=2a

0

/Z   – 

ellips 

 

 

n

ϕ

=2,  n

r

=0; 

α

=

β

=4a

0

/Z  

 

– 

çevrə 

 

3. 

n=3; 

n

ϕ

=1,  n

r

=2; 

α

=9a

0

/Z,  

β

=3a

0

/Z   – 

ellips 

 

 

n

ϕ

=2,  n

r

=1; 

α

=9a

0

/Z,  

β

=6a

0

/Z   – 

ellips 

 

 

n

ϕ

=3,  n

r

=0; 

α

=

β

=9a

0

/Z  

 

– 

çevrə. 

57.5 şəklində n=1,2,3 halları üçün orbitlər sxematik olaraq çəkilmişdir. Bu şəkillərdən 

görünür ki, n

ϕ

 kvant ədədi kiçik olduqca elliptik orbitlər perihelidə fokusa (nüvəyə) daha 

çox yaxınlaşmış olur. 

Beləliklə, 

n baş kvant 

ədədinin hər bir qiyməti üçün 

böyük yarımoxu eyni olan n sayda 

müxtəlif orbit mümkün olur və 

özü də bu orbitlərdən biri çevrə, 

n-1 dənəsi isə ellipsdir. Bu n 

sayda orbitin hamısına (57.56) 

düsturuna görə enerjinin eyni bir 

qiyməti, yəni enerjinin n sayda 

eyni qiyməti uyğun gəlir. 

Cırlaşmanın da mahiyyəti bundan 

ibarətdir.