Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"
Download 18.1 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- Ё84. İmpuls momenti operatorlarının məxsusi funksiyaları və məxsusi qiymətləri
|
VIII F Ə S I L. BƏZI KVANT MEXANIKI OPERATORLARIN MƏXSUSI FUNKSIYALARI VƏ MƏXSUSI QIYMƏTLƏRI Ё83. İmpuls və kinetik enerji operatorlarının məxsusi funksiyaları və məxsusi qiymətləri Ё75-dən məlumdur ki, kvant mexanikasının 3-cü postulatına əsasən L fiziki kəmiyyətinin yeganə mümkün olan qiymətlərini (75.1) operator tənliyini həll etməklə tapmaq olar. Belə ki, operatorunun aşkar ifadəsi məlumdursa, onda uyğun (75.1) tənliyini həll edərək bu operatorun ψ məxsusi funksiyalarını və λ məxsusi qiymətlərini təyin etmək mümkündür. Bəzi xüsusi hallar üçün (75.1) tənliyinin necə həll edildiyini göstərək. Lˆ x i p x ∂ ∂ − = h
ˆ 1.
İmpulsun proyeksiyası operatoru .
pˆ operatorunun məxsusi qiymətləri və məxsusi funksiyaları ( )
( ) ( )
x p x x i x p x x ψ ψ ψ = ∂ ∂ − = h ˆ
(83.1) operator tənliyinin həllinə əsasən tapılır. Göründüyü kimi, impulsun p x proyeksiyasının (- ∞,+∞) intervalında yerləşən ixtiyari həqiqi qiymətlərində bu tənliyin kəsilməz, sonlu və bir qiymətli həlli ( )
⋅ = h ψ
(83.2) funksiyasından ibarətdir. Burada A–normallaşdırıcı vuruqdur. Deməli, operatorunun spektri kəsilməzdir, belə ki, p
kəmiyyəti ixtiyari həqiqi qiymət ala bilər. Bundan başqa, operatorunun spektri cırlaşmamışdır, yəni hər bir p
məxsusi qiymətinə (83.2) düsturu ilə təyin olunan bir dənə ( )
x x p ψ məxsusi funksiyası uyğun gəlir. (83.2) funksiyası p x impulsuna malik olan hissəciyin x oxu boyunca hərəkətini təsvir edir. Qeyd edək ki, (83.2) funksiyasını modulunun kvadratı 1-ə bərabər olan Et i e h − faza vuruğuna vursaq ( ) (
( )
x k i Et x p i x x Ae Ae t x ω ψ − ⋅ − ⋅ = = h ,
(83.3) ifadəsini alırıq ki, bu da (65.4) de-Broyl dalğasına uyğundur (bax: Ё76). Eyni qayda ilə və
operatorlarının da məxsusi funksiyalarını tapmaq olar. y pˆ z pˆ 2. İmpuls operatoru ∇ −
r h r i pˆ . İmpuls operatorunun məxsusi funksiyaları və məxsusi qiymətləri
525 ( ) ( ) z y x p z y x i p , , , , ˆ ψ ψ ψ r r h r = ∇ − =
(83.4) tənliyini həll etməklə tapılır. Bu tənlikdə (76.11) və (76.13) ifadələrini nəzərə alsaq ( )
) (
y x p k p j p i z y x z k y j x i i z y x , , , , ψ ψ r r r r r r h + + = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ − ) (83.5) olar. (83.5) tənliyini həll etmək üçün isə dəyişənlərin ayrılması üsulundan istifadə edəcəyik. Bu məqsədlə (83.5)-in həlli olan ψ (x,y,z) funksiyasını bir-birindən asılı olmayan üç dənə funksiyanın hasili kimi götürürlər: ψ (x,y,z)= ψ 1 (x) ψ 2 (y) ψ 3 (z). (83.6) (83.6)-nı (83.5)-də yazaraq alınan tənliyin sağ və sol tərəfində k j i r r r , , ortvektorlarının əmsallarını bərabərləşdirərək tapırıq ki, (83.5) tənliyi hər biri (83.1) tənliyinə oxşar olan aşağıdakı kimi üç tənliyə parçalanır: 1 1 ψ ψ
p x i = ∂ ∂ − h
2 2 ψ ψ
p y i = ∂ ∂ − h
(83.7) 3 3 ψ ψ z p z i = ∂ ∂ − h
. Bu tənliklərin hər birinin həlli bizə məlum olub, (83.2) kimidir. Ona görə də (83.2)-ni (83.6)-da nəzərə alaraq (83.4) tənliyinin həlli üçün ( ) ( )
p i z p y p x p i Ae e A A A z y x z y x r r h h = = ⋅ + ⋅ + ⋅ 3 2 1 , , ψ (83.9) ifadəsini alırıq ki, bu da (65.4) üçölçülü de-Broyl dalğasına uyğundur. Qeyd edək ki, (83.9) funksiyası hissəciyin impulsunun tam müəyyən (dispersiyasız) qiymətinə uyğun halını tamamilə təsvir edir. 3. Kinetik enerji operatoru 2 2 2 ˆ ∇ − =
T h . Kinetik enerji operatorunun məxsusi qiymətləri və məxsusi funksiyaları ψ ψ ψ T m T = ∇ − = 2 2 2 ˆ h
(83.10) tənliyini həll etməklə tapılmalıdır. Burada m p T 2 2 = – hissəciyin kinetik enerjisidir. Lakin 2 2
ˆ ∇ − = m T h operatoru ∇ − = r h r i pˆ operatoru ilə kommutativ olduğundan, bu operatorların məxsusi funksiyaları eyni olmalıdır. Ona görə də (83.10) tənliyini həll etməyə ehtiyac yoxdur və biz tam yəqinliklə deyə bilərik ki, pˆr impuls operatorunun (83.8) məxsusi funksiyası, eyni zamanda həm də, 2 2 2 ˆ ∇ − =
T h kinetik enerji operatorunun məxsusi funksiyasıdır. Deməli, kinetik enerji operatorunun da məxsusi funksiyası üçölçülü de-
526 Broyl dalğasından ibarətdir. Aydındır ki, T operatorunun da spektri kəsilməzdir. Lakin bu spektr ikiqat cırlaşmışdır: kinetik enerjinin hər bir ˆ
2 2 = qiymətinə pr və pr −
impulsuna uyğun iki dənə müxtəlif məxsusi funksiya uyğun gəlir. ( )
, r p i p Ae r r r h r r = ψ
( ) r p i p Ae r r r h r r − − = ψ . (83.11) Göstərmək olar ki, bu cırlaşmış funksiyalar bir-birinə ortoqonaldır, yəni onları ortoqonallaşdırmağa ehtiyac yoxdur (Ё73, 3-cü xassə). Doğrudan da, ( ) ( ) 0
sin 2 cos 2 2 2 = ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∗ −
r p i dV r p A dV e A dV r r r p i p p r r h r r h r r r r h r r ψ ψ
yaza bilərik. Çünki kosinus və sinus funksiyaları periodik funksiyalar olduğundan mötərizədəki inteqralların hər biri sıfra bərabər olur. Ё73-də 3-cü xassəyə görə cırlaşmış hala uyğun məxsusi funksiyaların ixtiyari xətti kombinasiyası da həmin məxsusi qiymətə mənsub olan məxsusi funksiya olduğundan ( )
( ) ( )
r c r c r p p T r r r r r − + = ψ ψ ψ 2 1
(83.12) funksiyası da T operatorunun ˆ
p T 2 2 = məxsusi qiymətinə mənsub olan funksiyadır. Aydındır ki, (83.9)-u nəzərə almaqla (83.12)-ni aşağıdakı kimi də yazmaq olar: ( )
( ) ( )
t r c t r c t r p p T , , , 2 1 r r r r r − + = ψ ψ ψ
(83.13)
Ё84. İmpuls momenti operatorlarının məxsusi funksiyaları və məxsusi qiymətləri Əvvəlcə hissəciyin impuls momentinin M z proyeksiyasına uyğun ϕ ∂
− = h
i M z ˆ
operatorunun /bax: (76.39)/ məxsusi funksiyalarını və məxsusi qiymətlərini təyin edək. Bu məqsədlə ψ ϕ
ψ z z M i M = ∂ ∂ − = h ˆ
(84.1) tənliyini həll etmək lazımdır. Bu tənliyin həlli ( ) ϕ
ψ z M i Ae h =
(84.2) olar. Burada A–normallaşdırıcı vuruqdur. Aydındır ki, (84.2) funksiyası ixtiyari e i δ faza vuruğu və ixtiyari f(r, θ ) funksiyası şəklində vuruq dəqiqliyi ilə təyin olunmuşdur. Göründüyü kimi, (84.2) funksiyası 0 ≤ ϕ ≤2 π intervalında, yəni ϕ –nin bütün dəyişmə oblastında kəsilməz və sonludur. Bu funksiya həm də birqiymətli olmalıdır, yəni ψ ( ϕ +2 π )= ψ ( ϕ )
(84.3) şərti ödənməlidir. (79.2) ifadəsindən görünür ki, (84.3) şərtinin ödənməsi üçün
527 1 2 = ⋅ π
M i e h
(84.4) olmalıdır. Bu isə yalnız o zaman mümkündür ki, m M z = h
(84.5) kimi təyin olunan m ədədi tam qiymətlər (m=0, ±1,±2,±3,…) almış olsun. (84.5) ifadəsindən M z =ħm
(84.6) alınır. Deməli, operatorunun (84.2) məxsusi funksiyasının birqiymətli olması tələb edir ki, bu operatorun məxsusi qiyməti olan M
kəmiyyəti, yəni impuls momentinin z oxu üzrə proyeksiyası ħ Plank sabitinin tam misllərinə bərabər olan diskret qiymətlər almalıdır, başqa sözlə desək, kvntlanmalıdır. (84.6)-nı (84.2)-də nəzərə alsaq ( ) ϕ
ψ im m Ae =
(84.7) yaza bilərik. Beləliklə, operatorunun spektri diskretdir və cırlaşmamışdır, yəni (84.6) ilə təyin olunan hər bir məxsusi qiymətə bir dənə (84.7) məxsusi funksiyası mənsubdur.
Adətən z oxunu xarici maqnit sahəsinin istiqaməti boyunca yönəltmək əlverişli olduğundan, deyirlər ki, m kvant ədədi impuls momentinin xarici maqnit sahəsinin istiqaməti üzrə proyeksiyasını (84.6) düsturuna əsasən təyin edir. Məhz bu mənada m– maqnit kvant ədədi adlandırılmışdır. Qeyd edək ki, operatorunun (84.7) məxsusi funksiyaları
( ) ( )
' 2 0 '
mm m m d δ ϕ ϕ ψ ϕ ψ π = ∫ ∗
(84.8) ortonormallıq şərtini ödəyir. A–normallaşdırıcı vuruq isə ψ
funksiyasının ( ) ( )
π ϕ ϕ ψ ϕ ψ π 2
1 2 2 0 ⋅ = = ∫ ∗ A d m m
normallıq şərtinə əsasən tapılır: π 2 1 = A . Deməli, operatorunun (84.8) ortonormallıq şərtini ödəyən məxsusi funksiyaları z Mˆ ( )
ϕ π ϕ ψ im m e 2 1 =
(84.9) ifadəsi ilə, məxsusi qiymətləri isə (84.6) düsturu ilə təyin olunur. Qeyd edək ki, (84.7)-dən alınan ϕ
və
ϕ m i Ae − funksiyalarının ( ) ϕ ϕ m i m i e e A − ± xətti kombinasiyası da superpozisiya prinsipinə görə (84.1) tənliyinin həlli ola bilər. Deməli, ( ) ( )
ix ix ix e e x e e i x − − + = − = 2 1 cos 2 1 sin
(84.10)
528
olduğundan, ϕ
B m sin
= Φ və ϕ m B m cos
' = Φ (84.12) funksiyaları da (84.1) tənliyinin həlləridir. Bu həllərin maraq doğuran cəhəti ondan ibarətdir ki, onlarda xəyali vahid i yoxdur, yəni bu funksiyalar kompleks olmayıb, həqiqi funksiyalardır. (84.12) ifadələrində də B və B' sabitləri funksiyaların normallıq şərtindən tapılır: 1
2 2 0 2 2 = ⋅ = ∫ π ϕ ϕ π B d m B ,
(84.11) 1 ' cos
' 2 2 0 2 2 = ⋅ = ∫ π ϕ ϕ π
d m B
(84.12) və ya
π 1 ' = = B B ,
(84.13) (84.13)-ü (84.12)-də nəzərə alsaq ϕ π m m sin
1 = Φ və ya ϕ π m m cos
1 = Φ (84.14) yaza bilərik. Burada da m=0, ±1,±2,… tam qiymətlərini alır. İmpuls momentinin M
proyeksiyası müəyyən qiymətə malikdirsə, onda digər iki M x
və M y proyeksiyaları qeyri-müəyyən qalır. Bu, o deməkdir ki, M z -in verilmiş qiymətinə uyğun halda M
və M y proyeksiyalarını ölçsək, onlar üçün ixtiyari mümkün olan qiymətlər tapıla bilər. Hissəciyin impuls momenti sıfra bərabər olan yeganə halda, əvvəllər qeyd etdiyimiz kimi, hər üç proyeksiya eyni zamanda müəyyən qiymət ala bilər: M x =M y =M z =0. Məhz buna görə də operatorunun (84.9) məxsusi funksiyası (76.39) ilə təyin olunan və operatorlarının məxsusi funksiyası ola bilməz. z Mˆ x Mˆ y Mˆ Fəza izotrop olduğundan, fəzada bütün istiqamətlər bir-birinə ekvivalentdir. Digər tərəfdən bucaq momentinin iki müxtəlif istiqamət üzrə proyeksiyaları eyni zamanda müəyyən qiymət ala bilməzlər. Ona görə də impuls momentinin ixtiyari istiqamət üzrə proyeksiyası üçün yuxarıda deyilənlər doğrudur. Belə ixtiyari istiqamət olaraq adətən z oxunu götürürlər ki, buna da səbəb (76.39)-a əsasən operatorunun çox sadə ifadəyə malik olmasıdır. z Mˆ Nəhayət, bir məsələni də qeyd edək. (84.6) düsturu öz formasına görə Bor nəzəriyyəsindəki (55.1) kvantlanma şərtinə oxşayırsa da, bu ifadələr arasında dərin məna fərqi vardır. Belə ki, (55.1) düsturunda L hissəciyin (elektronun) tam impuls momenti olduğu halda, (84.6) ifadəsində M
hissəciyin impuls momentinin proyeksiyalarından biridir və dəqiq təyin olunan bir kəmiyyət kimi impuls momenti vektorunun özü isə mövcud deyildir. İndi isə (76.40) və (76.30) düsturları ilə sferik koordinatlarda təyin olunan impuls momentinin kvadratı operatorunun məxsusi funksiyalarını tapaq. Bu məqsədlə
529
( ) ( )
( ) ϕ θ ϕ θ θ θ θ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ , sin
1 sin
sin 1 , , ˆ 2 2 2 2 2 2 , 2 2
M Y Y Y Y M = ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎢⎣ ⎡ − = ∇ − = h h (84.15) diferensial tənliyini həll etmək lazımdır. Bu tənliyi –ħ 2 -na bölək və 2 2 h M = α
(84.16) işarə edək. Onda 0 sin
1 sin
sin 1 2 2 2 = + ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂
Y Y α ϕ θ θ θ θ θ
(84.17) tənliyi alınır. Bu tənliyi həll etmək üçün dəyişənlərin ayrılması üsulundan istifadə edilməlidir, yəni onun həlli olan Y( θ , ϕ ) funksiyası bir-birindən asılı olmayan iki dənə P( θ ) və Φ( ϕ ) funksiyalarının hasili kimi götürülməlidir: Y( θ , ϕ )=P( θ )
ϕ )
(84.18)
(84.18)-i (84.17)-də yazaraq 0 sin 1 sin
sin 1 2 2 2 = Φ + Φ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ Φ
d d d dP d d α ϕ θ θ θ θ θ
tənliyini alırıq. Bu tənliyi P ⋅Φ hasilinə bölsək və sonra sin 2 θ
2 2 2 1 sin
sin sin
1 ϕ θ α θ θ θ θ
d d dP d d P Φ Φ − = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ (84.19) alınır. Göründüyü kimi, (84.19) tənliyində sol tərəf yalnız θ , sağ tərəf isə yalnız ϕ
dəyişənindən asılıdır. Ona görə də θ və
ϕ dəyişənlərinin bütün mümkün olan qiymətlərində (84.19) bərabərliyinin ödənməsi üçün, bu bərabərliyin sağ və sol tərəfi eyni bir ixtiyari sabitə bərabər olmalıdır. Bu sabit isə ayırma sabiti adlanır. Bu ayırma sabitini biz m 2 ilə işarə edək. Beləliklə, dəyişənlərin ayrılması nəticəsində (84.17) tənliyi aşağıdakı kimi iki dənə diferensial tənliyə parçalanır. 2 2 2 1
d d = Φ Φ − ϕ və ya 0 2 2 2 = Φ + Φ m d d ϕ , (84.20) 0 sin
sin sin
2 2 = − ⋅ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ P m P d dP d d θ α θ θ θ θ . (84.21) Bilavasitə törəmə almaqla yoxlamaq olar ki, (84.20) tənliyinin həlli olan Φ( ϕ ) funksiyası (84.7) düsturu ilə Φ=Ae
ϕ kimi təyin olunur. 0 ≤ ϕ ≤2 π intervalında bu funksiyanın birqiymətli olması, yəni (84.3) şərtinin ödənməsi üçün m ədədi m=0, ±1,±2,… tam qiymətlərini almalıdır. Burada A sabit
530
vuruğu (84.8) normallıq şərtinə əsasən tapılır: π 2 1 =
. Bir sözlə, (84.20) tənliyinin həlli olan ϕ π
im m e 2 1 ) ( = Φ
(84.22) funksiyası ϕ ∂
− = h
i M z ˆ operatorunun məxsusi funksiyasına bərabərdir. Onda aydındır ki, (84.14) funksiyaları da (84.20) tənliyini ödəyirlər. (84.21) tənliyini sin 2 θ
0 sin
sin sin
1 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ P m d dP d d θ α θ θ θ θ (84.23) kimi yazmaq olar. Burada
θ
(84.24) işarə edərək yeni x dəyişəninə keçək. Onda
θ θ θ sin
− = = olduğunu nəzərə alsaq 0 sin
sin sin
sin sin
1 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− P m dx dP dx d θ α θ θ θ θ (84.25) olar. (84.25)-də sin
2 θ =1-cos 2 θ =1-x 2 əvəz edərək ( )
1 1 2 2 2 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ − P x m dx dP x dx d α
(84.26) tənliyini alırıq. Qeyd edək ki, (84.26)-da P(x) funksiyasının analitik ifadəsi (84.23)-də
θ ) funksiyasından fərqlidir. Ona görə də P(x) funksiyasını başqa hərflə işarə etmək lazım idi. Lakin son nəticədə (84.24)-ü nəzərə almaqla yenidən P( θ ) funksiyasına qayıtmalı olduğumuzdan bunu etmirik. Göründüyü kimi, (84.26) ifadəsi (79.1) tənliyi ilə eynidir. Ё80-də göstərdik ki, bu tənliyin həllinin sonlu olması şərti tələb edir ki, (80.19) şərti ödənməli, yəni α =l(l+1) olmalıdır (l=0,1,2,3,…). Onda (84.26) tənliyi (80.26) birləşmiş Lejandr tənliyi ilə üst-üstə düşür və onun həlli (80.27) birləşmiş Lejandr polinomu ( )
olmalıdır. (84.26) tənliyinin ortonormallıq şərtini ödəyən və Q sinfinə mənsub olan həlli (80.47) kimi təyin olunur:
( ) ( ) ( ) ( ) = + − + =
P m l m l l l x N m l l m l ! ! 2 1 2 ! 2 1
531 ( ) ( ) ( ) ( ) = − + − + = m l m m l dx x P d x m l m l l l 2 2 1 ! ! 2 1 2 ! 2 1 (84.27) ( )
) ( ) ( ) . 1 1 ! ! 2 1 2 ! 2 1 2 2 2 m l l m l m l dx x d x m l m l l l + + − − + − + = Burada (80.23), (79.11) və (80.27) ifadələri nəzərə alınmışdır. (84.26) tənliyinin həlli olan və (84.27) düsturları ilə təyin olunan ( )
x N m l birləşmiş normalanmış Lejandr funksiyaları polinom şəklində (80.48) kimi yazıla bilər. (84.24)-ü və ( )
θ m m sin
cos 1 2 2 = − olduğunu (84.27)-də nəzərə alaraq (84.23) tənliyinin ortonormallıq şərtini ödəyən həllini aşağıdakı kimi yaza bilərik: ( ) (
( ) ( ) = + − + = θ θ cos ! ! 2 1 2 ! 2 1
l l m l P m l m l l l N
( ) ( ) ( ) ( ) = + − + = m l m m l d P d m l m l l l cos
cos sin
! ! 2 1 2 ! 2 1 θ θ
(84.28) ( ) ( ) ( ) ( ) . cos 1 cos sin ! ! 2 1 2 ! 2 1 2 m l l m l m l d d m l m l l l + + − + − + = θ θ
(80.48)-də müvafiq əvəzləmə edərək ( ) θ
l N üçün (84.28)-ə ekvivalent olan polinom şəklində ifadə yaza bilərik. Beləliklə, (84.15) tənliyinin həllini, yəni impuls momentinin kvadratı
operatorunun məxsusi funksiyalarını (84.18)-ə əsasən (84.22) və (84.28) funksiyalarının hasili şəklində götürmək lazımdır: 2 ˆ M ( )
( ) ϕ θ π ϕ θ im m l lm e N Y
2 1 , = .
(84.29) (84.29) düsturu ilə təyin olunan Y lm ( θ , ϕ ) funksiyaları kompleks sferik funksiyalar adlanır. (84.22) və (84.28) funksiyaları ( )
( ) 2 1 2 1 2 0
m m m m d δ ϕ ϕ ϕ π = Φ Φ ∫ ∗
(84.30) ( )
) 2 1 2 1 0 sin
cos cos
l l m l m l d N N δ θ θ θ θ π = ∫ (84.31) ortonormallıq şərtlərini ödədiyindən, (84.29) kompleks sferik funksiyaları da ortonormal olmalıdırlar, yəni
532 ( ) ( )
( ) ( )(
) 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 0 0 2 0
cos
, ,
sin
,
, m m l l m l m l m l m l d d Y Y d d Y Y δ δ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ π π π ∫ ∫ ∫ ∫
− ∗ ∗ = = = (84.34) l 1 ≠l 2 olduqda inteqral (84.31)-ə əsasən ( ) θ
l N vuruğunun, m 1 ≠m 2 olduqda isə (84.30)-a əsasən Φ
( ϕ ) vuruğunun hesabına sıfra bərabər olur. Məlumdur ki, dalğa funksiyası e i α faza vuruğu dəqiqliyi ilə təyin olunur (Ё72). Ona görə də (84.29) funksiyasını modulu 1-ə bərabər olan ixtiyari kompleks (xüsusi halda həqiqi) ədədə vurmaq olar. Bunun nəticəsində alınan funksiya yenə də (84.15) tənliyinin həlli olacaq və (84.34) ortonormallıq şərtini ödəyəcəkdir. Kvant mexanikasında bəzi hallarda (84.29) əvəzinə ( ) ( ) ( )
ϕ θ π ϕ θ
lm m m lm e N Y
2 1 1 , 2 ⋅ − = + (84.35) kimi sferik funksiyadan istifadə edilir, yəni ( )
θ m l N əvəzinə N lm ( θ ) yazılır. Praktik olaraq bu, o deməkdir ki, m ≤0 olduqda həll (84.29) kimi götürülməli, m>0 olduqda isə (-1)
-ə
vurulmalıdır, yəni m-in müsbət tək qiymətlərində funksiya –1-ə vurulmalıdır. Belə qəribə vuruğun meydana çıxmaması üçün biz məhz (84.29) ifadəsindən istifadə edəcəyik. (84.29) funksiyaları üçün ( )
( ) ϕ θ ϕ θ , , m l lm Y Y − ∗ =
(84.36) şərti ödənir. Yuxarıda qeyd etdik ki, (84.15) tənliyinin sonlu və birqiymətli olan (84.29) həllinin alınması üçün m ədədi tam qiymətlər (m=0, ±1,±2,…) almalı və (84.16) kimi təyin olunan α parametri isə α =l(l+1) kimi təyin olunmalı və özü də l müsbət tam qiymətlər (l=0,1,2,…) almalıdır. Bundan başqa, Ё80-da isbat olunduğu kimi,
≤ şərti ödənməlidir /bax: (80.29)/. Bu o deməkdir ki, l-in verilmiş qiymətində m ədədi -l-dən +l-ə qədər 2l+1 sayda qiymətlər ala bilər: m=0, ±1,±2,…,±l və ya m=-l,-l+1,…0,…,l-1,l. (84.34) Başqa sözlə, yalnız
≤ şərti ödəndikdə (84.29) sferik funksiyaları Y lm ( θ , ϕ ) sıfırdan fərqli olur. Deməli, (84.16)-dan alınır ki, impuls momentinin kvadratı operatorunun məxsusi qiymətləri 2 ˆ
( ) 1 2 2 + = l l M l h
(84.35) kimi təyin olunur və özü də kvantlanır: l=0,1,2,…. Buradan aydın olur ki, hissəciyin impuls momenti kvant mexanikasında ( ) 1
= l l M l h
(84.36) kimi təyin olunur. (84.36) düsturuna görə hissəciyin impuls momentini təyin edən l kvant ədədi azimutal və ya orbital kvant ədədi adlanır. (84.6) düsturuna əsasən hissəciyin
533
impuls momentinin M z proyeksiyasını təyin edən m kvant ədədi isə maqnit kvant ədədi adlanır. Yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, operatorunun spektri cırlaşmışdır. Belə ki, operatorunun (84.35) ilə təyin olunan hər bir məxsusi qiymətinə bir-birindən m maqnit kvant ədədi ilə fərqlənən 2l+1 sayda müxtəlif Y 2 ˆ
2 ˆ
2
( θ , ϕ ) məxsusi funksiyası uyğun gəlir, yəni məxsusi qiymətinin cırlaşma tərtibi 2l+1 olur. 2
Qeyd edildiyi kimi, azimutal (orbital) kvant ədədi l (84.35) düsturuna əsasən hissəciyin bucaq momentinin kvadratını; maqnit kvant ədədi m isə (84.6) düsturuna əsasən bucaq momentinin z oxu üzrə proyeksiyasını M z təyin edir. Bu, o deməkdir ki, M 2
z kəmiyyətləri üçün (84.35) və (84.6) ilə təyin olunan qiymətlərdən başqa heç bir qiymət ola bilməz. Deməli, makroskopik cisimlərin də impuls momentləri (84.35) və (84.6) qaydalarına tabe olmalıdır. Lakin ħ Plank sabitinin çox kiçik olması sayəsində makroskopik cisimlərin impuls momentlərinin diskretliyi praktik olaraq nəzərə çarpmır. Bu, ona bənzəyir ki, e elementar yükün çox kiçik olması nəticəsində makroskopik elektrik yüklərinin diskretliyi müşahidə olunmur. 2 ˆ M və operatorları bir-biri ilə kommutativ olduğundan onların məxsusi funksiyaları eyni olmalıdır (ЁЁ77,73). Deməli, (84.29) funksiyaları
( )
( ) ( ) ( )
ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ , 1 , , ˆ 2 2 , 2 2 lm lm lm Y l l Y Y M + = ∇ − = h h (84.37) ( ) ( )
( ) ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ , , , ˆ lm lm lm z mY Y i Y M h h = ∂ ∂ − = , (84.38) ( )
( ) ( ϕ θ ϕ θ ϕ ϕ θ , , , ˆ 2 2 2 2 2 2 lm lm lm z Y m Y Y M h h = ∂ ∂ − = ) (84.39) tənliklərini ödəməlidir. M 2 və M z kəmiyyətlərinin eyni zamanda müəyyən qiymət aldığı hər hansı Y lm ( θ , ϕ ) halına baxaq. İsbat edək ki, bu halda M 2 =0 qiymətindən başqa həmişə M 2 >M z 2 olur. Bu məqsədlə məlum 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ y x z M M M M + = −
(84.40) bərabərliyinə baxaq. Aydındır ki, (84.37) və (84.39)-a əsasən Y lm ( θ , ϕ ) funksiyası operatorunun M 2 2 ˆ ˆ
M M − 2 -M z 2 məxsusi qiymətinə uyğun olan məxsusi funksiyasıdır. Ona görə də (84.40)-a əsasən ( )
( ) ( ) ∫ + = − ∗ ϕ θ θ ϕ θ ϕ θ d d Y M M Y M M lm y x lm z
sin ,
ˆ ˆ
, 2 2 2 2 (84.41) yaza bilərik. Burada sağ tərəf həmişə müsbət olan M x 2 +M y 2 kəmiyyətinin Y lm ( θ , ϕ ) halında orta qiymətini müəyyən etdiyindən həmişə müsbət ədəddir və deməli, M 2 >M z 2
(84.42) olur ki, bunu isbat etmək lazım idi. (84.42) ifadəsindən görünür ki, bucaq momenti vektoru M r dəqiq olaraq z oxu boyunca yönələ bilməz. İstənilən halda M r vektoruna bu halda qeyri-müəyyən qalan M
və M y proyeksiyaları daxildir. Bu isə bizə artıq məlum
534
olan faktdır: M x , M y və M z proyeksiyalarının hər üçünün eyni zamanda müəyyən qiymət aldığı hal mövcud deyildir ( M r =0 halından başqa). Bu fakt haqqında bəzən deyirlər ki, M 2 -nın müəyyən qiymətə malik olduğu məxsusi halda bucaq momenti vektoru özünün 2 M uzunluğunu saxlayır, lakin onun fəzada istiqaməti müəyyən olmayıb flüktuasiyaya məruz qalır. Lakin bu, o qədər də müvəffəqiyyətli ifadə sayıla bilməz. Çünki həmin müddəaya görə hər bir zaman anında müəyyən uzunluğa və istiqamətə malik olan bir M r
vektoru vardır, lakin bu vektorun istiqaməti zamana görə nizamsız və kəsilməz olaraq dəyişir. Əslində isə, əvvəllər qeyd etdiyimiz kimi, belə bir vektor yoxdur və buna görə də onun flüktuasiyaları haqqında təsəvvür həqiqətə uyğun deyildir. (80.49) və (84.28) ifadələrini (84.29)-da nəzərə almaqla bəzi Y lm ( θ , ϕ ) kompleks sferik funksiyaları üçün tapılmış ifadələr aşağıda verilmişdir: π 4 1 00 = Y
θ π cos
4 3 10 = Y
ϕ θ π
e Y ± ± ⋅ = sin 8 3 1 1
( ) 1 cos 3 16 5 2 20 − = θ π Y
ϕ θ θ π i e Y ± ± ⋅ = cos sin 8 15 1 2
ϕ θ π i e Y 2 2 2 2 sin 32 15 ± ± ⋅ = (84.43) ⎟ ⎠
⎜ ⎝ ⎛ − = θ θ π cos cos 3 5 16 63 3 30 Y
( ) ϕ θ θ π
e Y ± ± ⋅ − = sin 1 cos 5 64 21 2 1 3 ϕ θ θ π
e Y 2 2 2 3 cos sin 32 105 ± ± ⋅ =
ϕ θ π
e Y 3 3 3 3 sin 64 35 ± ± ⋅ = İndi isə (76.41) kimi təyin olunan operatorlarının məxsusi funksiyalarını və məxsusi qiymətlərini tapaq. operatorları özünəqoşma operatorlar deyildir. Lakin, buna baxmayaraq, həmin operatorlar kvant mexanikasında mühüm əhəmiyyət kəsb edirlər. Bu operatorların bir-biri ilə, habelə , , və
operatorları ilə kommutativlik münasibətləri Ё77-də verilmişdir. y x M i M M ˆ ˆ ˆ ± = ± ±
2 ˆ
x Mˆ y Mˆ z Mˆ x Mˆ , və operatorları üçün (77.20) münasibətlərinə əsasən y Mˆ z Mˆ
535 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y x z y x x z y y z x y z x z y x z M i M M M i M M i M M M i M M M M i M M M i M M ± ± ± = − ± ± + = ± = ±
və ya ( ) (
)( ) h + + = + z y x y x z M M i M M i M M ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (84.44) ( ) (
)( ) h − − = − z y x y x z M M i M M i M M ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ (84.45) ifadələrini yaza bilərik. Əgər (84.44) və (84.45) operatorları ilə Y lm ( θ , ϕ ) funksiyasına təsir etsək və (84.38)-i nəzərə alsaq ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ,
ˆ ˆ
1 , ˆ ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ˆ
y x lm z y x lm y x z Y M i M m Y M M i M Y M i M M ± ± = ⋅ ⋅ ± ± = ± h h ] (84.46) olar. (84.46) ifadəsindən görünür ki, ( ) ( ) ϕ θ ,
ˆ ˆ lm y x Y M i M ± funksiyası operatorunun ħ(m ±1) məxsusi qiymətinə mənsub olan məxsusi funksiyasıdır. operatoru (84.44) və (84.45)-də olan operatorların hamısı ilə kommutativ olduğundan deyə bilərik ki, z Mˆ 2 ˆ M ( ) ( ) ϕ θ ,
ˆ ˆ lm y x Y M i M ± funksiyası həm də operatorunun ħ 2 ˆ M 2
uyğun olan məxsusi funksiyasıdır. Doğrudan da, (84.37)-ni nəzərə alsaq ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ϕ θ ϕ θ ϕ θ , ˆ ˆ 1 , ˆ
ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ˆ 2 2 2 lm y x lm y x lm y x Y M i M l l Y M M i M Y M i M M ± + = = ± = ± h (84.47) alınır.
(84.46) ifadəsinə əsasən belə mülahizə etmək olar ki, operatorunun z Mˆ ( ) ( ) ϕ θ ,
ˆ ˆ lm y x Y M i M ± məxsusi funksiyaları onun Y lm ±1 məxsusi funksiyaları ilə aşağıdakı kimi əlaqədar olmalıdır: ( ) 1 1
ˆ ˆ + = +
lm y x Y N Y M i M ,
(84.48) ( ) 1 2
ˆ ˆ − = −
lm y x Y N Y M i M .
(84.49) Burada N 1 və N 2 həqiqi ədədlər olub, vuruqlardır və onları tapmaq üçün Y lm ( θ , ϕ ) funksiyalarının (84.34) normallıq şərtindən istifadə edəcəyik. Əvvəlcə N 1 -i tapaq. (84.48)-i özünün kompleks qoşmasına vuraq və d Ω=sin
θ d θ
ϕ yazaraq θ və
ϕ sferik
bucaqları üzrə inteqrallama aparaq: ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) . , , , ˆ ˆ , ˆ ˆ 2 1 1 1 1 1 N d Y Y N N d Y M i M Y M i M lm lm lm y x lm y x = Ω = = Ω + + ∫ ∫ + ∗ + ∗ ∗ ϕ θ ϕ θ ϕ θ ϕ θ (84.50) x Mˆ və
operatorlarının özünəqoşma (ermit) olduğunu nəzərə alaraq (84.50) inteqralını aşağıdakı kimi çevirək: y Mˆ
536 ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] . ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ ˆ
ˆ ˆ 2 2 2 1 Ω − − + = = Ω + + + Ω + = = Ω + + + Ω + = ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ d Y M M M M i M M Y d Y M i M M Y i d Y M i M M Y d Y M Y M i M i d Y M Y M i M N lm x y y x y x lm lm y x y lm lm y x x lm lm y lm y x lm x lm y x (84.51) Bu ifadənin əvəzinə onun kompleks qoşmasını yazaraq, (77.20) və (84.37)-(84.39) düsturlarını nəzərə alaraq tapırıq ki, ( )
) [ ] 1 1
ˆ ˆ ˆ 2 2 2 2 1 + − + = Ω − − = ∫ ∗ m m l l d Y M M M Y N lm z z lm h h (84.52) (84.52)-ni (84.48)-də yazaraq ( )
) ( )( ) 1 1 1
1 1 ˆ ˆ + + + + − = = + − + = + lm lm lm y x Y m l m l Y m m l l Y M i M h h (84.53) alırıq. Analoji yolla ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1
1
1 1
ˆ ˆ − − + − + = = − − + = − lm lm lm y x Y m l m l Y m m l l Y M i M h h (84.54) olduğunu da göstərmək olar. Beləliklə, (84.53) və (84.54) ifadələrindən görünür ki, və operatorlarının Y y x M i M M ˆ ˆ ˆ + = + y x M i M M ˆ ˆ ˆ − = − lm ( θ , ϕ ) kompleks sferik funksiyaya təsiri nəticəsində bu funksiyanın ifadəsində m maqnit kvant ədədi, uyğun olaraq, 1 qədər artır və ya azalır. Məhz buna görə də bəzən –"yüksəldici", –isə "alçaldıcı" operator adlanır. +
−
Maraqlıdır ki, (84.53) və (84.54) düsturlarına əsasən ( )( ) ( )( ) ( )
lm lm z y x y x y x y x lm Y l l Y M M i M M i M M i M M i M Y M
1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 2 1
ˆ ˆ
ˆ ˆ 2 1 ˆ 2 2 2 + = ⎥⎦ ⎤ + + − + ⎢⎣ ⎡ + − + = h
(84.55) alınır ki, bu da (84.37) ilə üst-üstə düşür.
537
|
