Dərslik respublikanın universitetlərinin fizika fakültələrinin tələbələri üçün "Atom fizikası"

 

 

 

IX  F Ə S I L.  BIR SIRA SADƏ SISTEMLƏR ÜÇÜN 

 

ŞREDINGER TƏNLIYININ HƏLLI 

 

 

Ё85. Sərbəst hissəcik 

 

Heç bir qüvvə  təsir etməyən və bir düz xətt boyunca hərəkət edən hissəcik, yəni 

sərbəst hissəcik üçün Şredinger tənliyinin həllinə baxaq. Fərz edək ki, hissəcik  x oxu 

boyunca hərəkət edir. Şərtə görə bu hissəciyə qüvvə təsir etmədiyi üçün 

0

=

−

=

dx

du

F

 və 

buradan  u(x)=const olduğundan biz hissəciyin potensial enerjisini sıfra bərabər götürə 

bilərik: u(x)=0. Bu halda Hamilton funksiyası hissəciyin yalnız kinetik enerjisinə bərabər 

olur: 

m

p

U

T

H

E

x

2

2

=

+

=

=

.   

               (85.1) 

Onda sərbəst hissəciyin Hamilton operatoru Ё76-nın 3-cü bəndinə görə 

m

p

H

x

2

ˆ

ˆ

2

=

 

 

 

      (85.2) 

olar. Lakin 

dx

d

i

p

x

h

−

=

ˆ

 

 

 

         (85.3) 

olduğundan 

2

2

2

2

2

2

1

ˆ

dx

d

m

dx

d

i

m

H

h

h

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

   

          (85.4) 

yaza bilərik. Onda sərbəst hissəcik üçün 

 Şredinger tənliyi 

ψ

ψ

E

H

=

ˆ

ψ

ψ

E

dx

d

m

=

−

2

2

2

2

h

 

 

 

       (85.5) 

kimi olar. Burada 

2

2

h

mE

k

=

 

 

 

                 (85.6) 

işarə etsək sərbəst hissəcik üçün Şredinger tənliyi 

0

2

2

=

+

ψ

ψ

k

dx

d

   

 

                   (85.7) 

şəklinə düşər. Bu tənliyin həlli ya sinus və kosinus funksiyaları vasitəsilə, ya da ki, 

( )

ikx

Ae

x

=

ψ

 

 

 

              (85.8) 

 

538 

kimi ifadə olunur. (85.8)-i (85.7)-də yerinə yazmaqla bilavasitə  əmin olmaq olar ki, bu 

ψ

(x) funksiyası sərbəst hissəcik üçün (85.7) Şredinger tənliyinin həllidir: 

A

⋅(ik)

2

+k

2

A=0.   

 

              (85.9) 

Fərz olunur ki, (85.8)-ə daxil olan və (85.6) kimi təyin olunan k həqiqi ədəd olmalıdır. 

Əgər k xəyali ədəd olsa, onda (85.8) funksiyası 

( )

ax

Ae

x

±

=

ψ

   

 

         (85.10) 

şəklinə düşür (a–həqiqi ədəddir) və x

→±∞ olduqda bu funksiya sonsuzluğa bərabər olur 

ki, bu da dalğa funksiyasının sonlu (Q sinfinə mənsub) olması xassəsinə ziddir. Deməli, k 

həqiqi  ədəd olmalıdır. (85.6) ifadəsinə  əsasən isə bu, o deməkdir ki, sərbəst hissəciyin 

enerjisi müsbət işarəli olmalıdır, yəni  E

≥0. Beləliklə, dalğa funksiyasının sonlu olması 

xassəsi tələb edir ki, sərbəst hissəciyin enerjisi 0

≤E≤∞ intervalında qiymətlər ola bilər, 

yəni kəsilməz dəyişə bilər. Deməli, sərbəst hissəciyin enerji spektri kəsilməzdir. 

İndi isə (85.8) dalğa funksiyasını  sərbəst hissəciyin impulsu p

x

 ilə ifadə edək. Bu 

məqsədlə (85.1) ifadəsindən 

2

2

x

p

mE

±

=

 olduğunu (85.6)-da nəzərə alsaq 

h

2

x

p

k

±

=

 

 

 

         (85.11) 

yaza bilərik. Onda (85.8) dalğa funksiyası aşağıdakı şəklə düşür: 

( )

x

P

i

x

Ae

x

⋅

±

=

2

h

ψ

. 

 

           (85.12) 

(85.12) ifadəsində "müsbət" və "mənfi" işarələrini ayrılıqda götürməklə, (75.3) və 

(85.3) ifadələrindən istifadə edərək, p

x

 impulsunun orta qiymətini hesablayaq: 

.

 

 

 

 

 

 

ˆ

2

2

x

x

x

x

p

dx

dx

p

i

i

dx

dx

dx

d

i

dx

dx

p

p

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

=

=

−

=

=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∞

+

∞

−

∗

∞

+

∞

−

∗

∞

+

∞

−

∗

+∞

∞

−

∗

∞

+

∞

−

∗

+∞

∞

−

∗

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

h

h

h

                 (85.13) 

Deməli, 

( )

x

p

i

x

Ae

x

⋅

=

2

h

ψ

  

 

           (85.14) 

funksiyası hissəciyin x oxu istiqamətində hərəkətini təsvir edir. 

İndi isə 

( )

x

p

i

x

Ae

x

⋅

−

=

2

h

ψ

 

 

          (85.15) 

funksiyası vasitəsilə (85.13)-ə oxşar hesablama aparsaq 

2

x

x

p

p

−

=

 alarıq. Bu isə onu 

 

539

göstərir ki, (85.15) funksiyası  sərbəst hissəciyin  x oxunun əksi istiqamətində  hərəkətini 

təsvir edir. Bu nəticələr Ё83-də deyilənlərə tam uyğun gəlir. 

Sərbəst hissəciyin enerjisi saxlandığından 

const

p

p

const

p

const

m

p

E

x

x

x

x

=

±

=

=

=

=

2

2

2

 ,

 ,

2

 

və deməli, 

0

'

=

−

=

∆

x

x

x

p

p

p

  (x  və  x' nöqtələrində impulslar eynidir) yaza bilərik. 

Deməli, sərbəst hissəciyin impulsunun ölçülməsi zamanı qeyri-müəyyənlik yoxdur 

(

∆p

x

=0) və Heyzenberqin qeyri-müəyyənlik münasibətlərinə (Ё69) (

∆p

x

⋅∆x∼ħ) görə onun 

koordinatı qeyri-müəyyən qalır: 

∞

=

∆

∆

x

p

x

h

~

.  Başqa sözlə, sərbəst hissəciyin fəzada 

vəziyyətini təyin etmək olmaz. Sərbəst hissəciyin koordinatının orta qiymətini 

hesablamaq yolu ilə də bu müddəanın doğruluğunu bilavasitə sübut etmək olar: 

∞

=

=

=

⋅

⋅

=

=

∞

+

∞

−

+∞

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

∞

+

∞

−

−

∗

∞

+

∞

−

−

∗

∞

+

∞

−

∗

∞

+

∞

−

∗

∫

∫

∫

∫

∫

∫

x

x

dx

xdx

dx

Ae

e

A

dx

Ae

x

e

A

dx

dx

x

x

ikx

ikx

ikx

ikx

2

 

 

2

ψ

ψ

ψ

ψ

,      (85.16) 

yəni koordinatın qiyməti qeyri-müəyyən qalır. 

Yuxarıda deyilənlərdən aydın olur ki, sərbəst hissəciyin kəsilməz enerji spektri ikiqat 

cırlaşmışdır. Belə ki, enerjinin eyni bir E qiymətinə p

x

 impulsunun işarəsi ilə bir-birindən 

fərqlənən iki dənə (85.14) və (85.15) məxsusi funksiyaları uyğun gəlir. 

Qeyd edək ki, sərbəst hissəcik üçün (85.7) Şredinger tənliyinin zamandan asılı olan 

həllini (85.8) və (85.12) funksiyalarının 

Et

i

e

h

−

 vuruğuna hasili kimi yazmaq olar: 

( )

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

⋅

±

−

=

=

Et

x

p

i

Et

i

x

mE

i

x

Ae

e

Ae

t

x

2

2

,

h

h

h

ψ

.                (85.17) 

(85.17)-də "+" və "–" işarələri götürməklə alınan iki dənə funksiyanın ixtiyari xətti 

kombinasiyası da superpozisiya prinsipinə görə (85.7) tənliyinin həlli olacaqdır. 

Beləliklə, aydın olur ki, (85.8) və ya (85.12) funksiyası  x-in bütün -

∞≤x≤+∞ 

qiymətlərində sonlu olmaq şərtini ödəyir. Lakin bu funksiya kvadratik inteqrallanmır, 

yəni onun modulunun kvadratının bütün fəza, yəni sərbəst dəyişənlərin bütün dəyişmə 

oblastı üzrə inteqralı dağılır. Doğrudan da 

∞

→

=

=

∫

∫

∫

+∞

∞

−

∗

+∞

∞

−

−

∗

+∞

∞

−

∗

dx

A

A

dx

e

e

A

A

dx

ikx

ikx

 

ψ

ψ

 

      (85.18) 

olur. Buradan görünür ki, sərbəst hissəciyin (85.8) və ya (85.12) dalğa funksiyasını adi 

üsulla normallaşdırmaq və  A normallaşdırıcı vuruğunu tapmaq olmaz. Müəyyən 

edilmişdir ki, operatorun məxsusi qiymətləri kəsilməz olan (bütöv spektr) bütün hallarda 

belə  çətinlik meydana çıxır. Kəsilməz və diskret spektrlərin məxsusi funksiyaları 

arasındakı bu fərq xarakterik xüsusiyyətə malikdir. Diskret spektr üçün biz 

λ

1

, 

λ

2

, … 

diskret məxsusi qiymətlər sırasına uyğun olan 

ψ

1

, 

ψ

2

, …  məxsusi funksiyalarını yaza 

bilərik. Kəsilməz spektr üçün isə 

ψ

(x,

λ

) məxsusi funksiyası  kəsilməz dəyişən 

λ

 

parametrindən asılı olur /məsələn, (85.8) və ya (85.12) funksiyasında kəsilməz dəyişən 

 

540 

belə parametr 

mE

p

x

2

=

  kəmiyyətidir/. 

λ

-nın müəyyən bir qiyməti üçün bu cür 

funksiyanı diskret spektrin funksiyaları ilə uyğun tutmaq olmaz. Bu belə bir fakta uyğun 

gəlir ki, (85.8) funksiyası ilə  təsvir olunan hüdudsuz dalğa, ciddi monoxromatik dalğa 

kimi riyazi abstraksiyadan başqa bir şey deyildir. Məlumdur ki, real kvazimonoxromatik 

dalğa müəyyən intervalda kəsilməz dəyişən dalğa  ədədinə malik monoxromatik 

dalğaların superpozisiyasından alınan özünə  məxsus dalğa paketidir (Ё67). Buna oxşar 

olaraq, real fiziki şəraitlərdə heç vaxt vəziyyəti (-

∞,+∞) intervalında qeyri-müəyyən olan 

hissəciyə rast gəlinmir və belə demək olar ki, hissəcik məhdud uzunluğa malik olan bir 

oblastın harasındasa yerləşir. Belə hissəciyin özünü necə aparmasını  təsvir edən dalğa 

funksiyası  fəzada məhduddur. Belə dalğanı müəyyən oblastdan kənarda interferensiya 

nəticəsində bir-birini söndürən bir sıra hüdudsuz dalğaların superpozisiyasının nəticəsi 

kimi almaq olar, yəni bu dalğa  əslində dalğa paketidir. Riyazi olaraq belə paket 

λ

 

parametrinin qiymətlərinin kiçik 

∆

λ

 intervalı üzrə inteqral kimi göstərilə bilər: 

∫

∆

+

λ

λ

λ

λ

λ

ψ

d

x )

,

(

 

Məlum olur ki, məxsusi diferensiallar adlanan belə inteqrallar özlərini eynilə diskret 

spektrin məxsusi funksiyaları kimi aparırlar, yəni onlar bir-birinə ortoqonaldır və onları 

adi üsulla normallaşdırmaq olar. Kəsilməz spektrin dalğa funksiyalarının 

normallaşdırılma-sının bu üsulu prinsipcə doğru olsa da, həddən artıq çətin olduğuna görə 

praktik cəhətdən əlverişli deyildir. 

Kəsilməz spektrə  mənsub olan dalğa funksiyalarının normallaşdırılmasının digər 

üsulu M. Born tərəfindən təklif olunmuşdur. Bu üsulun mahiyyəti kəsilməz spektri qonşu 

enerji səviyyələri arasındakı fərq sonsuz kiçik olan diskret spektrə çevirməkdən ibarətdir. 

Bu məqsədlə  fərz olunur ki, hissəcik tilinin uzunluğu  L olan kubik potensial çuxurda 

yerləşmişdir.  L-in kifayət qədər böyük qiymətində birincisi, divarların təsirini nəzərə 

almamaq olur və ikincisi, enerji səviyyələri arasındakı  fərq o qədər kiçilir ki, spektri 

kvazikəsilməz, L

→∞ olduqda isə kəsilməz hesab etmək mümkün olur. Bu zaman məxsusi 

funksiyaların normallaşdırılması isə yuxarıda şərh olunmuş  məxsusi diferensiallar üsulu 

ilə aparılır. Born üsulunu bir qədər  ətraflı surətdə  nəzərdən keçirək. Fərz edək ki, bizi 

hissəciyin düzxətli (birölçülü) hərəkəti zamanı uzunluğu  L olan oblastda hərəkəti 

maraqlandırır. Ona görə də heç də bütün sonsuz fəzada deyil, yalnız L uzunluqlu oblastda 

hissəciyin hərəkətini nəzərdən keçirməklə təkrarlanan hesab etmək, yəni dalğa funksiyası 

üzərinə aşağıdakı kimi periodiklik şərti qoymaq olar: 

ψ

(x)=

ψ

(x+L).   

 

         (85.19) 

Deməli, Born metodunda dalğa funksiyasının üzərinə sərhəd şərtləri əvəzinə periodiklik 

şərti qoyulur. Məhz buna görə də Born metodu bəzən uzunluğa görə periodiklik metodu 

da adlandırılır. 

Aydındır ki, uzunluğa görə periodik olan, yəni (85.19) şərtini ödəyən dalğa funksiyası 

ilə  təsvir olunan hissəcik artıq tam sərbəst hesab oluna bilməz, çünki onun hərəkəti 

(85.19)  şərti ilə  məhdudlaşmış olur. Bunun da sayəsində hissəciyin enerji spektri artıq 

kəsilməz olmur. Doğrudan da, (85.8) və (85.19) düsturlarına əsasən 

Ae

ikx

=Ae

ik(x+L)

yaza bilərik ki, buradan da 

e

ikL

=1   

 

              (85.20) 

 

541

alınır. (85.20) şərti isə o zaman ödənir ki, 

kL=2

π

n, n=0,

±1,±2,±3,… 

               (85.21) 

olsun. (85.6) və (85.11)-i (85.21)-də nəzərə alsaq 

h

x

p

L

n

k

=

=

π

2

   

 

        (85.22) 

və 

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

n

mL

m

k

m

p

E

x

n

⋅

=

=

=

h

h

π

   

    (85.23) 

olar. 

(85.23) ifadəsindən görünür ki, (85.19) periodiklik şərtini daxil etdikdən sonra 

hissəciyin enerjisi kəsilməz deyil, diskret qiymətlər alır (kvantlanır) və deməli, biz 

kəsilməz spektrdən diskret spektrə keçmiş oluruq. Bu diskret spektrin məxsusi 

funksiyaları isə (85.8) və (85.22)-yə əsasən 

( )

x

L

n

i

n

Ae

x

⋅

=

π

ψ

2

  

 

          (85.24) 

olar. Diskret spektrin məxsusi funksiyaları isə (73.35) ortonormallıq şərtini ödəyir, yəni 

hissəcik 

2

2

L

x

L

≤

≤

−

 parçasında yerləşirsə 

( ) ( )

(

)

(

)

(

)

.

'

'

sin

 

 

'

2

2

2

2

'

2

2

2

2

'

'

nn

L

L

x

n

n

L

i

L

L

n

n

nn

L

A

n

n

n

n

L

A

dx

e

A

dx

x

x

δ

π

π

ψ

ψ

δ

π

=

−

−

⋅

=

=

=

=

∫

∫

−

−

−

∗

 

      (85.25) 

Buradan görünür ki, normallaşmış (85.24) funksiyaları üçün 

A

2

L=1, 

L

A

1

=

    

(85.26) 

olmalıdır. Deməli, (85.19) periodiklik şərtini ödəyən normallaşmış (85.24) funksiyaları 

( )

x

L

n

i

n

e

L

x

π

ψ

2

1

=

 

 

              (85.27) 

kimi təyin olunur. 

(85.23) düsturuna əsasən iki qonşu səviyyənin enerjiləri fərqi 

(

)

[

]

(

)

n

n

mL

n

n

mL

E

E

E

n

n

n

∆

⋅

+

=

−

+

=

−

=

∆

+

1

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

h

h

π

π

     (85.28) 

olar. Burada 

∆n=1, 2n+1≈2n və 

L

n

m

p

x

x

h

π

υ

2

=

=

 olduğunu nəzərə alsaq 

υ

π

⋅

=

∆

L

E

n

h

2

   

 

          (85.29) 

 

542 

yaza bilərik. Deməli, (85.29)-dan görünür ki, L

→∞ olduqda (L-in kifayət qədər böyük 

qiymətində) 

∆E→0 olur, yəni enerji səviyyələri bir-birinə qovuşur və enerji spektri 

kəsilməz olur. Məhz buna görə  də  kəsilməz spektrin dalğa funksiyaları  əvəzinə 

periodiklik uzunluğuna normalanmış (85.27) dalğa funksiyalarından istifadə edilməsi heç 

də böyük xətalara səbəb olmur, lakin hesablamalar və alınmış  nəticələrin  şərhi xeyli 

sadələşir. 

İndi isə birölçülü hərəkət üçün Born metodu ilə alınmış nəticələri sərbəst hissəciyin 

üçölçülü hərəkət halı üçün ümumiləşdirək. Bu halda (85.7) əvəzinə  aşağıdakı kimi 

Şredinger tənliyi yazılmalıdır: 

(

)

0

,

,

2

2

2

2

2

2

2

=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

∂

∂

+

∂

∂

+

∂

∂

z

y

x

k

z

y

x

ψ

. 

         (85.30) 

Burada  k–(85.6) kimi təyin olunur. Bu tənliyi dəyişənləri ayırmaq üsulu ilə  (Ё83) həll 

etmək mümkündür. Bu məqsədlə  həmin tənliyin həlli olan 

ψ

(x,y,z) funksiyasını bir-

birindən asılı olmayan üç dənə funksiyanın hasili kimi yazmaq lazımdır: 

ψ

(x,y,z)=

ψ

1

(x)

ψ

2

(y)

ψ

3

(z) 

             (85.31) 

(85.31)-i (85.30)-da yazsaq və alınan tənliyi 

ψ

1

⋅

ψ

2

⋅

ψ

3

 hasilinə bölsək 

E

z

m

y

m

x

m

=

∂

∂

−

∂

∂

−

∂

∂

−

2

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

2

1

2

1

2

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

h

h

h

        (85.32) 

alınar ki, bu bərabərliyin də ödənməsi üçün sol tərəfdəki bir-birindən asılı olmayan 

hədlərin hər biri sabit ədədə bərabər olmalıdır: 

1

2

1

2

1

2

1

2

E

x

m

=

∂

∂

−

ψ

ψ

h

 

2

2

2

2

2

2

1

2

E

y

m

=

∂

∂

−

ψ

ψ

h

 

 

              (85.33) 

3

2

3

2

3

2

1

2

E

z

m

=

∂

∂

−

ψ

ψ

h

. 

Özü də burada 

E=E

1

+E

2

+E

3

 

 

 

        (85.34) 

şərti ödənməlidir. Beləliklə, (85.30) tənliyi hər biri (85.5) tənliyinə oxşar olan üç dənə 

(85.33) tənliklərinə parçalanır. Bu tənliklərin hər biri üçün Born metodu ilə periodiklik 

uzunluğuna normalanmış  həll (85.27) düsturu ilə  təyin olunur. Ona görə  də (85.33) 

tənliklərinin hər biri üçün (85.27) həllini (85.31)-də yazsaq, sərbəst hissəciyin üçölçülü 

hərəkəti üçün (85.30) Şredinger tənliyinin həlli olan və Born metodu ilə normalanmış 

dalğa funksiyasını almış olarıq: 

(

) ( )

(

)

r

k

i

z

k

y

k

x

k

i

e

L

e

L

r

z

y

x

r

r

r

3

3

1

1

,

,

3

2

1

=

=

=

+

+

ψ

ψ

.        (85.35) 

Burada ümumiliyi pozmadan sadəlik naminə bütün koordinatlar üçün periodiklik 

uzunluğu L eyni götürülmüşdür: 

ψ

(x,y,z)= 

ψ

(x+L,y,z), 

 

543

ψ

(x,y,z)= 

ψ

(x,y+L,z), 

 

               (85.36) 

(85.35)-də 

ψ

(x,y,z)= 

ψ

(x,y,z+L). 

L

n

k

k

x

1

1

2

π

=

=

, 

L

n

k

k

y

2

2

2

π

=

=

, 

L

n

k

k

z

3

3

2

π

=

=

          (85.37) 

işarə edilmişdir. n

1

, n

2

, n

3

 kəmiyyətl

dəki mi ixtiyari tam

ə 

əri (85.21)-

 ki

 (müsbət, mənfi v

sıfır) qiymətlər ala bilər. 

(85.17)-yə oxşar olaraq zamandan asılı olan dalğa funksiyasını 

( )

(

)

Et

r

p

i

e

t

r

−

=

r

r

h

r

1

,

ψ

   

L

3

          (85.38) 

kimi yazmaq olar. Əslində (85.35) və (85.38) dalğa funksiyalarına n

1

, n

2

, n

3

 indeksləri də 

yazılmalıdır. 

(85.38) ifadəsində, (85.22) və (85.23)-ə uyğun olaraq 

,

k

p

r

h

r =

 

(

2

2

2

2

2

n

p

E

=

=

h

π

)

2

3

2

2

1

2

2

n

n

mL

m

+

+

             (85.39) 

işarə edilmişdir. 

 (85.38) dalğa funksiyaları birölçülü hal üçün (85.25)-ə uyğun olaraq 

(85.35) və ya

aşağıdakı ortonormallıq şərtini ödəyirlər: 

( )

( )

'

'

'

'

'

'

3

2

1

3

2

1

,

n

n

n

n

n

n

r

t

r

ψ

ψ

∫

∗

3

3

2

2

1

1

 

,

n

n

n

n

n

n

dV

t

δ

δ

δ

=

r

r

. 

          (85.40) 

Nəhayət, qeyd edək ki, periodiklik uzunluğunu müxtəlif istiqam

xtəlif 

göt

ətlər üçün mü

ürsə idik (85.37), (85.38) və (85.39) ifadələri, uyğun olaraq aşağıdakı kimi olardı: 

1

1

2 n

k

k

1

L

x

π

=

=

, 

2

2

2 n

k

k

π

=

=

, 

3

3

2 n

k

k

3

L

z

π

=

=

,            (85.37a) 

2

L

y

( )

(

)

Et

r

p

i

e

L

L

L

t

r

−

=

r

r

h

r

3

2

1

1

,

ψ

, 

 

      (85.38a) 

,

k

p

r

h

r =

, 

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

2

3

2

3

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

L

n

L

n

L

n

m

m

p

E

h

π

. 

    (85.39a) 

Kəsilməz spektrin məxsusi funksiyalarını normallaşdırmaq üçün Bornun təklif etdiyi 

periodiklik uzunluğu metodu praktik cəhətdən heç də həmişə əlverişli olmur. Ona görə də 

kvant mexanikasında mühüm rol oynayan üçüncü metoddan istifadə olunur. Bu metoda 

görə  kəsilməz spektrin məxsusi funksiyaları Dirakın 

δ

–funksiyasına (Ё74) 

normallaşdırılır. Bu metod formal olaraq əvvəlki iki metoda, yəni məxsusi diferensiallar 

vasitəsilə normallaşdırma və "çuxurda normalalaşdırma" metodlarına tam ekvivalentdir. 

Kəsilməz spektrin (85.8) məxsusi funksiyasında k dalğa ədədi kəsilməz qiymətlər alır. 

Bu funksiyanın ifadəsində A sabit vuruğunu tapmaq üçün həmin funksiyanı 

δ

–funksiyaya 

normallayaq. Bu məqsədlə (74.32) və ya (74.38) düsturlarına əsasən 

 

544 

(

)

( ) ( )

(

)

∫

∫

+∞

∞

−

−

+∞

∞

−

∗

=

=

−

dx

e

A

dx

x

x

k

k

x

k

k

i

k

k

'

2

'

 

 

'

ψ

ψ

δ

 

          (85.41) 

yazaq. Lakin Furye inteqralları nəzəriyyəsindən məlum olan (74.28) düsturuna əsasən 

(

)

(

)

'

2

'

k

k

dx

e

x

k

k

i

−

=

∫

+∞

∞

−

−

πδ

 

 

          (85.42) 

ifadəsini (85.41)-də  nəzərə alsaq 2

π

A

2

=1 və ya 

π

2

1

=

A

 olduğunu tapırıq. Deməli, 

birölçülü hərəkət üçün kəsilməz spektrin 

δ

-funksiyaya normalanmış məxsusi funksiyaları 

( )

h

x

ikx

k

p

k

e

x

=

=

 ,

2

1

π

ψ

 

 

        (85.43) 

kimi olur. 

(74.29) ifadəsindən istifadə edərək üçölçülü hərəkət halında kəsilməz spektrin 

δ

–

funksiyaya normalanmış məxsusi funksiyaları üçün 

( )

( )

h

r

r

r

r

r

r

p

k

e

r

x

k

i

k

=

=

 ,

2

1

3

π

ψ

 

 

        (85.44) 

ifadəsini yaza bilərik.