Дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение Бернулли. Примеры решений

Предпраздничные новогодние дни предвещают зачеты и экзамены, поэтому в срочном порядке я решил порадовать читателей еще одним уроком по теме Дифференциальные уравнения первого порядка. Речь пойдет о так называемых уравнениях Бернулли, которые нет-нет, да и встречаются в практических работах и контрольных заданиях. Уравнение Бернулли рекомендую изучать только в том случае, если у вас уже есть опыт решения дифференциальных уравнений первого порядка, в особенности, следует хорошо ориентироваться в линейных неоднородных уравнениях вида  .

Дифференциальное уравнение Бернулли имеет вид:

Очевидно – уравнение Бернулли по общей структуре напоминает линейное неоднородное уравнение первого порядка.
Характерным признаком, по которому можно определить уравнения Бернулли, является наличие функции «игрек» в степени «эн»:  .
Если  или  , то уравнение Бернулли превращается в уравнения, которые вы уже должны уметь решать.
Целая степень  может быть как положительной, так и отрицательной (во втором случае получится дробь), кроме того,  может быть обыкновенной дробью, например  .
Как и линейное неоднородное уравнение первого порядка, уравнение Бернулли может приходить на новогодний утренник в разных костюмах. Волком:


Зайчиком:

Или белочкой:

Важно, чтобы в уравнении присутствовал персонаж  , который, как я только что показал, иногда может маскироваться под корень.
Обратите внимание, что одним из очевидных решений уравнения Бернулли (если  ) является решение:  . Действительно, если найти  и подставить  в уравнения рассмотренных типов, то получится верное равенство. Как отмечалось в статье об однородных уравнениях, если по условию требуется найти только частное решение, то функция  по понятной причине нас не морозит, но вот когда требуется найти общее решение/интеграл, то необходимо проследить, чтобы эту функцию не потерять!
Все популярные разновидности уравнения Бернулли я принёс в большом мешке с подарками и приступаю к раздаче. Развешивайте носки под ёлкой.
Пример 1
Найти частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданному начальному условию.
, 
Наверное, многие удивились, что первый подарок сразу же извлечён из мешка вместе с задачей Коши. Это не случайность. Когда для решения предложено уравнение Бернулли, почему-то очень часто требуется найти частное решение. По своей коллекции я провёл случайную выборку из 10 уравнений Бернулли, и общее решение (без частного решения) нужно найти всего в двух уравнениях. Но, собственно, это мелочь, поскольку общее решение придётся искать в любом случае.
Решение: Данный диффур имеет вид  , а значит, является уравнением Бернулли
Как решить дифференциальное уравнение Бернулли?
Алгоритм достаточно прост и незамысловат.
На первом шаге необходимо избавиться от «игрека» в правой части. Для этого сбрасываем  в низ левой части и проводим почленное деление:

Далее необходимо избавиться от игрека вот в этом слагаемом:

Для этого проводим замену:  , то есть меняем дробь с «игреком» на букву «зет».
Находим производную:
.
Если данное действие не понятно, пожалуйста, посмотрите первый параграф урока Производные неявной и параметрически заданной функций.
Смотрим на первое слагаемое:

Получено линейное неоднородное уравнение первого порядка. С той лишь разницей, что вместо привычного «игрека» у нас буква «зет».

Вывод: уравнение Бернулли с помощью замены сводится к линейному неоднородному уравнению первого порядка
Я сменю у каждого слагаемого знак, делать это не обязательно, просто запись будет выглядеть стандартнее что ли:

Дальше алгоритм работает по накатанной колее, важно только уметь решать неоднородное уравнение 1-го порядка:
Проведем замену: 

Подобные интегралы я ласково называю дурными интегралами, они не столько сложные, сколько творческие – нужно догадаться (хотя бы научным тыком), как их решать.

Данный интеграл берётся по частям:


Творчество присутствует, помимо интегрирования по частям, использован метод подведения функции под знак дифференциала.
Таким образом:

Но это ещё не всё, выполняем обратную замену:
Если изначально было  , то обратно будет 
В результате получаем общее решение исходного уравнения Бернулли:

Тривиальное решение  потерялось (это произошло в самом начале при делении на  ) и не вошло в общий интеграл. Однако это обстоятельство нас совершенно не волнует, поскольку по условию требовалось решить только задачу Коши (! заметьте, что если бы условие требовало указать в ответе и общее решение, то его следовало бы дополнить функцией  ). Найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию