Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Курсовая работа
На тему: «Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов»
Содержание

Введение 1. Дифференциальные уравнения высших порядков 1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка 2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов 2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. 2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов. 3. Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений. 3.1. Уравнение Бесселя. 3.2. Гипергеометрическое уравнение или уравнение Гаусса. 4. Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике. Заключение Литература

3 4 4 5 5 7 10 10 12 13 19 20

Введение
В общем случае нахождение точного решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка его интегрированием невозможно. Тем более это неосуществимо для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Это обстоятельство привело к созданию большого числа приближенных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и их систем. Среди приближенных методов можно выделить три группы: аналитические, графические и численные. Разумеется, подобная классификация в известной мере условна. Например, графический метод ломаных Эйлера лежит в основе одного из способов численного решения дифференциального уравнения.
Интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов является приближенным аналитическим методом, применяемым, как правило, к линейным уравнениям не ниже второго порядка.
Аналитические методы встречаются в курсе дифференциальных уравнений. Для уравнений первого порядка (с разделяющимися переменными, однородных, линейных и др.), а также для некоторых типов уравнений высших порядков (например, линейных с постоянными коэффициентами) удается получить решения в виде формул путем аналитических преобразований.
Целью работы является анализ одного из приближенных аналитических методов, такого как интегрирование обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов, и применение их при решении дифференциальных уравнений.

1.