Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Применение метода интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений при помощи рядов на практике.

Пример_1. (№691) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х⁴ включительно) с начальными условиями
Решение: Решение уравнения будем искать в виде
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
.
Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:
Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х⁴ включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .
Из начальных условий следует, что Теперь найдем остальные коэффициенты:
Следовательно, решение уравнения запишется в виде
Пример_2. (№696) Вычислить несколько первых коэффициентов ряда (до коэффициента при х⁴ включительно) с начальными условиями
Решение: Решение уравнения будем искать в виде
Подставляем полученные выражения в исходное уравнение:
Представляя правую часть в виде степенного ряда и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях уравнения, получаем:
Так как по условию необходимо вычислить коэффициенты ряда до коэффициента при х⁴ включительно, то достаточно вычислить коэффициенты .
Из начальных условий следует, что и 2. Теперь найдем остальные коэффициенты:
Следовательно, решение уравнения запишется в виде
Пример_3. (№700) Найти линейно независимые решения в виде степенных рядов уравнения . По возможности сумму полученного ряда выразить с помощью элементарных функций.
Решение. Решение уравнения будем искать в виде ряда
Дважды продифференцировав этот ряд и подставив в данное уравнение, имеем
Выпишем несколько первых членов рядов в полученном уравнении:
или
Приравняв нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений для определения :
………………………………….
Из этих уравнений находим
Положим , тогда отличными от нуля будут только коэффициенты . Получаем, что
Построено одно решение уравнения
Второе решение, линейно независимое с найденным, получим, предположив . Тогда отличными от нуля будут только коэффициенты :
Отсюда
значит,
Ряды, представляющие и , сходятся при любых значениях х и являются аналитическими функциями. Таким образом, все решения исходного уравнения — аналитические функции при всех значениях х. Все решения выражаются формулой , где С₁, С₂ — произвольные постоянные:
Так как сумму полученного ряда легко выразить с помощью элементарных функций, то и запишется как:
и
Пример_4. (№711) Решить уравнение 2х²у" + (3х – 2х²)у' – (х + 1)у = 0.
Решение. Точка х = 0 является регулярной особой точкой данного уравнения. Составляем определяющее уравнение: Его корни λ₁ = 1/2 и λ₂ = - 1. Решение исходного уравнения, соответствующее корню λ = λ₁ ищем в виде
Тогда
Подставив , , и в исходное уравнение, имеем
или
Отсюда, сократив на , получим
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, имеем уравнения для определения :
Положив y₀ = 1, находим
Таким образом,
Соответствующее корню λ = λ₂ решение исходного уравнения ищем в виде
Подставив это выражение в исходное уравнение и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х, получим или Положив y₀ = 1, находим
т. е.
Общее решение исходного уравнения запишем в виде , где и - произвольные постоянные.