Дифференциальные уравнения высших порядков
Обыкновенным дифференциальным уравнением n-го порядка называется соотношение вида
где F – известная функция своих аргументов, заданная в некоторой области;
x – независимая переменная;
y – функция переменной x, подлежащая определению;
y’, y”, …, y(n) – производные функции y.
При этом предполагается, что y(n) действительно входит в дифференциальное уравнение. Любой же из остальных аргументов функции F может в этом соотношении явно не участвовать.
Всякая функция, удовлетворяющая данному дифференциальному уравнению, называется его решением, или интегралом. Решить дифференциальное уравнение - это значит найти все его решения. Если для искомой функции y удается получить формулу, дающую все решения данного дифференциального уравнения и только их, то говорим, что нашли его общее решение, или общий интеграл.
Общее решение дифференциального уравнения n-го порядка содержит n произвольных постоянных с1, с2,..., cn и имеет вид .
1.1. Понятие о линейном дифференциальном уравнении n-го порядка
Дифференциальное уравнение n-го порядка называется линейным, если оно первой степени относительно совокупности величин y, y’, …, y(n). Таким образом, линейное дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид:
где – известные непрерывные функции от x.
Данное уравнение называется неоднородным линейным уравнением или уравнением с правой частью. Если же правая часть уравнения, , тождественно равна нулю, то линейное уравнение называется однородным дифференциальным линейным уравнением и имеет вид
В случае если n будет равно 2, то получим линейное уравнение II-го порядка, которое запишется как Как и линейное уравнение n-го порядка уравнение второго порядка может быть однородным ( ) и неоднородным.
Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи рядов.
Решения обыкновенного дифференциального уравнения выше первого порядка с переменными коэффициентами не всегда выражаются через элементарные функции, и интегрирование такого уравнения редко приводится к квадратурам.
Do'stlaringiz bilan baham: |
