Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

2.1. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.
Наиболее распространенным приемом интегрирования указанных уравнений является представление искомого решения в виде степенного ряда. Рассмотрим уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
. (2.1)
Замечание1. Достаточно широкий класс функций можно представить в виде
где , — некоторые постоянные. Это выражение называют степенным рядом. Если его значения равны соответствующим значениям функции для любого x из интервала (х₀ – Т; х₀ + Т), то такой ряд называют сходящимся в этом интервале.
Предположим, что функции a(х), b(х) являются аналитическими функциями уравнения (2.1) на интервале (х₀ – Т; х₀ + Т), Т > 0, т.е. разлагаются в степенные ряды:
(2.2)
Имеет место следующая теорема (опуская доказательство, приведем лишь ее формулировку).
Теорема_1. Если функции a(х), b(х) имеют вид (2.2), то любое решение y(х) обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) представимо в виде сходящегося при |x - x₀| < Т степенного ряда:
(2.3)
Эта теорема не только дает возможность представить решение в виде степенного ряда, но и, что самое главное, обосновывает сходимость ряда (2.3).
Алгоритм такого представления состоит в следующем. Для удобства положим в (2.2) и (2.3) x₀ = 0 и будем искать решение обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) в виде
(2.4)
Подставив (2.4) в (2.1), получим равенство
(2.5)
Для выполнения (2.5) необходимо, чтобы коэффициент при каждой степени x был равен нулю. Из этого условия получаем бесконечную систему линейных алгебраических уравнений
………………………………………….
…………………………………………………………………. .
Из полученной бесконечной системы линейных алгебраических уравнений можно последовательно найти , , …, если задать значения и (в случае задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения (2.1) можно ввести начальные условия = , = ).
Если функции а(х), b(х) являются рациональными, т.е. , b , где — многочлены, то в окрестностях точек, в которых или , решение в виде степенного ряда может не существовать, а если и существует, то может расходиться всюду, за исключением точки x = 0. Это обстоятельство было известно еще Л. Эйлеру, который рассмотрел уравнение первого порядка
Этому уравнению удовлетворяет степенной ряд
Нетрудно, однако, видеть, что этот ряд расходится при любом . Решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде расходящегося степенного ряда называют формальным.
Одним из наиболее ярких и понятных примеров на применение данного способа интегрирования является уравнения Эйри или 
Все решения этого уравнения являются целыми функциями от x. Тогда решение уравнения Эйри будем искать в форме степенного ряда (2.4). Тогда равенство (2.5) принимает вид
Приравняем нулю коэффициент при каждой степени x. Имеем
……………………………
Коэффициент при нулевой степени x равен 2у₂. Следовательно, у₂ = 0. Тогда из равенства нулю коэффициента находим = . Коэффициент при равен . Отсюда .
Из этой формулы получаем
;
.
Коэффициенты и остаются неопределенными. Для нахождения фундаментальной системы решений положим вначале = 1, = 0, а затем наоборот. В первом случае имеем
а во втором
На основании теоремы_1 эти ряды являются сходящимися всюду на числовой прямой .
Функции и называют функциями Эйри. При больших значениях x асимптотическое поведение этих функций описывают следующие формулы и .
Графики этих функций изображены на рис. 2.1. Получаем, что при неограниченном увеличении x нули всякого решения уравнения Эйри неограниченно сближаются, что видно и из асимптотического представления этих решений, но совсем не очевидно из представления функций Эйри в виде сходящихся степенных рядов. Отсюда следует, что способ поиска решения обыкновенного дифференциального уравнения при помощи ряда, вообще говоря, малопригоден при решении прикладных задач, а само представление решения в виде ряда затрудняет анализ качественных свойств полученного решения.