Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

Частные случаи использования обобщенных степенных рядов при интегрирование дифференциальных уравнений.

3.1. Уравнение Бесселя.
Уравнению Бесселя является одним из важных в математике и ее приложениях дифференциальным уравнением. Решения уравнения Бесселя, составляющие его фундаментальную систему функций, не являются элементарными функциями. Но они разлагаются в степенные ряды, коэффициенты которых вычисляются довольно просто.
Рассмотрим уравнение Бесселя в общем виде:
или (3.1)
К этому уравнению сводятся многие задачи математической физики.
Поскольку уравнение не изменяется при замене в нем x на –x, досточно рассмотреть неотрицательные значения x. Единственная особая точка x=0. Определяющее уравнение, соответствующее x=0, есть , . Если 0, то определяющее уравнение имеет два корня: и . Найдем решение данного уравнения в виде обобщенного степенного ряда
Так как
то, подставив у, у' и у" в исходное уравнение, получим
Отсюда, сокращая на , имеем
или
Чтобы это равенство выполнялось тождественно, коэффициенты должны удовлетворять уравнениям
Найдем решение, соответствующее корню определяющего уравнения λ = n. Подставив в последние равенства λ = n, видим, что в качестве можно взять любое число, отличное от нуля, число = 0, а для k = 2, 3, ... имеем
Отсюда при всех m = 0, 1, 2, … .
Таким образом, найдены все коэффициенты , а значит, решение уравнения (3.1) запишется в виде
Введем функцию
называемую гамма-функцией Эйлера. Учитывая, что и что для целых , , а также выберем произвольную постоянную как то запишется в виде
Функция
называется функцией Бесселя первого рода n-го порядка.
Второе частное решение уравнения Бесселя, линейно независимое с ищем в виде
Уравнения для определения при имеют вид
Полагая , находим
По условию n не является целым числом, так что все коэффициенты с четными номерами однозначно выражаются через :
Таким образом,
Полагая представим у₂(х) в виде
Функция
называется функцией Бесселя первого рода с отрицательным индексом.
Таким образом, если n не является целым числом, то все решения исходного уравнения Бесселя являются линейными комбинациями функции Бесселя и : .