Построение решений дифференциальных уравнений с помощью рядов

2.2. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи обобщенных степенных рядов.
Итак, если в уравнении (2.1) функции а(х), b(х) рациональные, то точки, в которых или , называются особыми точками уравнения (2.1).
Для уравнения второго порядка
(2.6)
в котором а(х), b(х) — аналитические функции в промежутке |х – x₀| < а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а₀ или b₀ в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).
В окрестности особой точки х = х₀ решения в виде степенного ряда может не существовать, в этом случае решения надо искать в виде обобщенного степенного ряда:
(2.7)
где λ и , , , …, ( ) подлежат определению.
Теорема_2. Для того чтобы уравнение (2.6) имело в окрестности особой точки х = х₀ хоть одно частное решение в виде обобщенного степенного ряда (2.7), достаточно, чтобы это уравнение имело вид
(2.7’)
где
(2.7”)
Суть сходящиеся степенные ряды, причем коэффициенты не равны нулю одновременно, ибо в противном случае точка х = х₀  не особая точка и существует два линейно независимых решения, голоморфных в точке х = х₀ . При этом, если ряды (2.7”), входящие в коэффициенты уравнения (2.7’) сходятся в области | х - х₀  | < R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.
Рассмотрим уравнение (2.6) при х > 0. Подставив в это уравнение выражение (2.7) при х₀ = 0, имеем
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях х, получаем рекуррентную систему уравнений:
……..........................……………………………………………. (2.8)
где обозначено
(2.9)
Так как , то λ должно удовлетворять уравнению
(2.10)
которое называется определяющим уравнением. Пусть – корни этого уравнения. Если разность не есть целое число, то ни при каком целом k > 0, а значит, указанным методом можно построить два линейно независимых решения уравнения (2.6):
Если же разность является целым числом, то указанным выше способом можно построить одно решение в виде обобщённого ряда . Зная это решение, с помощью формулы Лиувилля - Остроградского можно найти второе линейно независимое с решение:
Из этой же формулы вытекает, что решение можно искать в виде
(число А может оказаться равным нулю).

3.