Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

_{Пример 3}. Решим систему

.
Решение. Многочлен D(p) этой системы равен и имеет
один двукратный корень . Поэтому решение системы, соответствующее
этому корню, ищем в виде (11.6) (при ):
,
в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et, придем к необходимости
выполнения тождеств
Приравняв к нулю коэффициенты при всех степенях t, получим линейную
однородную алгебраическую систему четырех уравнений для определения коэффициентов a, b, c, d. Так как ранг матрицы полученной системы равен
двум, то, положив , найдем .
Поэтому общее решение исходной системы можно записать в виде



Пример 4.

Решение. Многочлен системы имеет два простых комплексных корня . Решение, соответствующее корню , ищем в виде
Подставив его во второе уравнение системы, найдем . Возьмем
. Тогда – комплексное
решение системы, соответствующее корню p = i. Как было сказано выше,
решение системы, соответствующее комплексно сопряженному корню , искать нет необходимости, а можно сразу записать ее общее решение:
11.2. Нормальная линейная система c постоянными коэффициентами. Метод
вариации произвольных постоянных
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных неизвестных функций:

Здесь , — некоторые вещественные постоянные, , , — заданные непрерывные функции. Такая система называется нормальной линейной системой дифференциальных уравнений порядка n.

Система

или, в векторной форме,

,
где , i, j = 1, . . . , n, — постоянная вещественная матрица, называется нормальной линейной однородной системой дифференциальных уравнений, соответствующей неоднородной системе (11.8). Эта система, очевидно,
является частным случаем системы (11.4), для которой , где — символ Кронекера. Многочлен D(p) системы (11.9)
есть характеристический многочлен матрицы A, степень которого равна n. Значит, в отличии от системы (11.4), общее решение системы (11.9) всегда содержит n произвольных постоянных интегрирования, а вектор-функции,
, (11.10)
стоящие при этих постоянных, образуют фундаментальную систему решений однородной системы (11.9). Это означает, что определитель Вронского системы решений (11.10)



отличен от нуля на любом интервале ее определения. Таким образом, общее решение системы (11.9) можно записать в виде
или, в координатной форме,
(11.12)
Решение неоднородной системы (11.8) ищут в том же виде (11.12), что и общее решение соответствующей однородной системы (11.9), но , считаются не постоянными, а пока неизвестными функциями переменной . Для их определения записывают линейную алгебраическую систему (сравнить с (11.12))

Определителем системы (11.13) служит определитель (11.11). Поэтому система имеет единственное решение , . Отсюда, интегрируя, находим где — произвольные постоянные интегрирования. Подставляя найденные функции в (11.12), получим общее решение системы (11.8), которое в векторной форме можно переписать так:
В этой формуле первая сумма определяет общее решение однородной системы (11.9), а вторая — некоторое частное решение неоднородной системы.