Самостоятельная работа №2 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных

Самостоятельная работа № 2 - Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка методом Лагранжа вариации произвольных постоянных.


Режа:

1. 
   Метод линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.
   
2. 
   преобразовать дифференциальные уравнения с произвольными константами
   

3. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа.

Шартли экстремум масалалари.


Изланаётган функцияларга чегаравий шартлар билан бир қаторда бошқа қўшимча шартлар ҳам қўйилган вариацион ҳисоб масалалари шартли экстремум масалалари дейилади.
Бир неча функцияларга боғлиқ бўлган функционалнинг экстремуми ҳақидаги масалани ўрганамиз:
(10)
функционалнинг
(11)
чегаравий шартларни ва қўшимча
(12)
шартларни қаноатлантирувчи экстремумини топинг.
Вариацион ҳисобнинг бу масаласи Лагранж масаласи дейилади.
Лагранж функцияси деб аталувчи функцияни тузамиз:


(13)
бу ерда - ихтиёрий функциялар бўлиб, улар Лагранж кўпайтувчилари дейилади.
Лагранж масаласини ечишда (10) функционалнинг экстремуми учун қуйидаги зарурий шартдан фойдаланамиз.
Теорема 3. Агар функциялар (11) ва (12) шартлар бажарилганда (10) функционалга экстремум қиймат берса, у ҳолда шундай Лагранж кўпайтувчилари топиладики, бунда мос Лагранж функциялари

функционал учун ёзилган Эйлер тенгламалари системасини қаноатлантиради:
. (14)
3-теорема ёрдамида функционалнинг шартли экстремуми ҳақидаги масала функционалнинг (12) қўшимча шартларсиз экстремумини топиш масаласига келтирилади.
3-теоремани қўллаш чоғида Лагранж масаласини ечиш учун зарур бўлган изланаётган функциялар ва , Лагранж кўпайтувчилари (14) ва (12) кўринишдаги та тенгламали тенгламалар системасидан аниқланади.
Мисол 4. Қуйидаги Лагранж масаласида функционалга экстремум бериши мумкин бўлган функцияларни топинг:




Ечиш. Бу масала учун Лагранж функцияси

кўринишига эга. ва функцияларни топиш учун,
(14) кўринишдаги
Эйлер тенгламаси ва

тенгламалардан иборат системани тузамиз.
Бу системадан аввало функцияни, сўнгра функцияни йўқотиб тенгламани тузамиз. ни z билан белгилаймиз: . Бу тенгламанинг умумий ечими

Бундан кетма-кет топамиз:

Энди ўзгармасларни топиш учун қуйидаги тенгламалар системасини тузамиз:

Бундан , яъни мазкур масалада функционал

функцияларда экстремумга эришиши мумкин.