Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению. Если вещественные части всех собственных значений матрицы A отрицательны,
а функции , удовлетворяют равенству (14.7), то нулевое
решение системы (14.1) асимптотически устойчиво. Если хотя бы одно
собственное значение матрицы A имеет положительную вещественную
часть, то нулевое решение неустойчиво.
Эта теорема, таким образом, позволяет исследовать лишь случай асимптотической устойчивости или неустойчивости. Если же собственные значения матрицы A имеют как отрицательные, так и нулевые вещественные части (но нет собственных значений с положительной вещественной частью), то теорема не дает ответа об устойчивости (неустойчивости) нулевого решения.
В этом случае необходимо дополнительное исследование (см. п. 14.2).
Пример 3. Рассмотрим пример, иллюстрирующий эту теорему. Пусть дана
система уравнений
Решение. Эта система легко решается: . Исключив отсюда t и обозначив , получим . Таким образом,
траекториями системы уравнений (14.8) являются всевозможные кубические параболы, а также прямые и (при или ). Из того, что следует, что движение по траектории осуществляется в сторону начала координат. Поэтому, если взять решение системы, достаточно близкое к нулевому, то это решение будет стремиться к нулю при
Таким образом, нулевое решение системы (14.8) асимптотически устойчиво.
Матрица A в рассматриваемом случае имеет вид Ее собственные значения равны и и асимптотическая устойчивость нулевого решения следует также из теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению.
Пример 4. Исследуем на устойчивость нулевое решение системы уравнений
,
Решение. Разложим в ряд Тейлора с точностью до o все входящие в правые части функции: едовательно, с точностью до o( ) система принимает вид

Находим собственные значения матрицы A:
Корнями этого уравнения являются числа . Они вещественны и отрицательны, следовательно, нулевое решение системы (14.9) асимптотически устойчиво.