Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Пример 1. Решим задачу
Решение. Краевые условия задачи неоднородные. Будем искать функцию ω(t), удовлетворяющую этим условиям, в виде многочлена: .
Подставив ее в краевые условия, найдем . Полагая , где — новая неизвестная функция, придем к краевой
задаче с однородными краевыми условиями:
где Фундаментальную систему решений однородного уравнения
составляют функции . Поэтому функцию Грина,
согласно (13.8), ищем в виде

Решив соответствующую систему (13.9):
получим
Чтобы записать систему (13.10), удобнее воспользоваться видом функций
и потребовать выполнения для них свойства II:
.
Тогда получим . Полагая
, где определены выше, придем к соответствующей системе (13.10):
,
Решив эту систему, найдем
,

Тогда

Таким образом,

Решение задачи с однородными краевыми условиями запишем по формуле
(13.5):
Чтобы вычислить этот интеграл, нужно разбить его точкой s = t на два
интеграла и записать функцию Грина как функцию переменной s:
;
Решение исходной краевой задачи тогда запишется в следующем виде:

§14. Устойчивость
Рассмотрим систему уравнений
или, в векторной записи

В дальнейшем будем считать, что функции и
непрерывны при ,
Определение. Решение системы (14.2), определенное на промежутке , называется устойчивым по Ляпунову, если для любого существует такое , что
1) любое решение , удовлетворяющее условию

определено в промежутке

2) для всех этих решений выполняется неравенство

при . (14.4)

Иными словами, решение устойчиво, если все достаточно близкие к нему в любой заранее выбранный начальный момент решения целиком содержатся в сколь угодно узкой ε-трубке, построенной вокруг решения

Если же для некоторого ε такого δ не существует, то решение
называется неустойчивым.
Определение. Решение системы (14.2) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и, кроме того, для всех решений
, удовлетворяющих условию (14.3) выполняется
Ясно, что условие (14.5) сильнее, чем условие (14.4), потому что оно означает, что решение не просто содержится в ε-трубке, а еще и стремится к решению .
Наличие или отсутствие устойчивости не зависит от выбора точки t0. Из
неравенств (14.3)–(14.4) по смыслу вытекает, что всегда следует выбирать
.
Вопрос исследования устойчивости некоторого решения системы (14.2) всегда можно свести к исследованию устойчивости нулевого решения другой системы уравнений, получаемой из (14.2) заменой
. На рисунке ниже показана устойчивость нулевого решения в
двумерном случае.