Расчет диска на прочность и решение краевой задачи

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
«Казанский национальный исследовательский технический университет им. А.Н. Туполева-КАИ»
Институт авиации, наземного транспорта и энергетики
Кафедра «Реактивных двигателей и энергетических установок (РДЭУ)»

Лабораторная работа №1
на тему:
«Расчет диска на прочность и решение краевой задачи»

Выполнил: студент группы 1162 Проверил: доцент кафедры РДиЭУ

Казань, 2022

Задание:
Для указанного дифференциального уравнения, описывающего уравнение равновесия конструкции, с использованием пакета символьной математики (например, WolframMathematica или др.) требуется:
Придуманные для реализации краевой задачи любые граничные условия;
Решение краевой задачи (аналитическое, точное решение);
Решение краевой задачи приближенное с использованием (в таблице указано количество членов ряда в аппроксимирующей функции, а также количество промежуточных точек для сеточной области): метода моментов (ММ), Бубнова-Галеркина (БГ), коллокаций (К), метода конечных разностей (КР), метода Рэлея-Ритца (РР);
Показ на одном графике всех шести решений (линии д.б. отличимы друг от друга, хорошо оформленные со всеми необходимыми пояснениями и т.д.);

Вид дифференциального уравнения конструируется так:

a – количество букв в имени; b - количество букв в фамилии; c - количество букв в отчестве;



Input interpretation
solve y'(x) = -2 y(x)
y(0) = 1 using Runge-Kutta-Fehlberg method from x = 0 to 10
Solution plot
(using initial stepsize 1)
Stepwise results
step | x | y | global error
0 | 0 | 1 | 0
⋮ | ⋮ | ⋮ | ⋮
56 | 9.42414 | 4.82222×10^-9 | 1.69856×10^-9
Butcher tableau
1/4 | 1/4 | | | | |
3/8 | 3/32 | 9/32 | | | |
12/13 | 1932/2197 | -7200/2197 | 7296/2197 | | |
1 | 439/216 | -8 | 3680/513 | -845/4104 | |
1/2 | -8/27 | 2 | -3544/2565 | 1859/4104 | -11/40 |
| 25/216 | 0 | 1408/2565 | 2197/4104 | -1/5 | 0
| -1/360 | 0 | 128/4275 | 2197/75240 | -1/50 | -2/55
Symbolic iteration code
y'(x) = f(x, y) = -2 y(x), y(0) = 1
y_n + 1 = y_n + h ((25 k_1)/216 + (1408 k_3)/2565 + (2197 k_4)/4104 - k_5/5)
x_n + 1 = x_n + h
k_1 = f(x_n, y_n)
k_2 = f(x_n + h/4, y_n + (h k_1)/4)
k_3 = f(x_n + (3 h)/8, y_n + (3 h k_1)/32 + (9 h k_2)/32)
k_4 = f(x_n + (12 h)/13, y_n + (1932 h k_1)/2197 - (7200 h k_2)/2197 + (7296 h k_3)/2197)
k_5 = f(x_n + h, y_n + (439 h k_1)/216 - 8 h k_2 + (3680 h k_3)/513 - (845 h k_4)/4104)
k_6 = f(x_n + h/2, y_n + -(8 h k_1)/27 + 2 h k_2 - (3544 h k_3)/2565 + (1859 h k_4)/4104 - (11 h k_5)/40)
where y_0 = | 1
x_0 = | 0
h = | 1
n = | 0, ..., 10
Stability region in complex stepsize plane

stability function: z^5/104 + z^4/24 + z^3/6 + z^2/2 + z + 1

Exact solution of equation
y(x) = e^(-2 x)
Initial stepsize comparison
Initial stepsize comparison
Method comparison
method | global error | log scale comparison
forward Euler method | -1.00 |
midpoint method | -1.00 |
Heun's method | -1.00 |
third-order Runge-Kutta method | -0.0000169 |
fourth-order Runge-Kutta method | -0.0000169 |
Runge-Kutta-Fehlberg method | 5.78×10^-10 |
Bogacki-Shampine method | 4.84×10^-9 |
Dormand-Prince method | -1.43×10^-10 |
backward Euler method | 5.14 |
implicit midpoint method | 0.368 |
(global error at x = 10
using initial stepsize 1)
Mathematica input
RKFCoefficients[4, p_] := N[{{{1/4}, {3/32, 9/32}, {1932/2197, -7200/2197, 7296/2197}, {439/216, -8, 3680/513, -845/4104}, {-8/27, 2, -3544/2565, 1859/4104, -11/40}}, {25/216, 0, 1408/2565, 2197/4104, -1/5, 0}, {1/4, 3/8, 12/13, 1, 1/2}, {-1/360, 0, 128/4275, 2197/75240, -1/50, -2/55}}, p];
NDSolve[{y'[x] == -2 y[x], y[0] == 1}, y, {x, 0, 10}, Method-> {"ExplicitRungeKutta", "Coefficients" -> RKFCoefficients, "DifferenceOrder" -> 4, "EmbeddedDifferenceOrder" -> 5, "StiffnessTest" -> False}, StartingStepSize -> 1, MaxStepFraction -> 1/10, WorkingPrecision -> MachinePrecision]
График решения

• 
  Скрыть график ошибок
  

График ошибок