Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

12.3. Решение задачи Коши для систем линейных дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами
Ограничимся лишь рассмотрением систем дифференциальных уравнений второго порядка:
с начальными условиями
Считая неизвестные функции xk(t), а также заданные функции , функциями-оригиналами и обозначая через и соответствующие им изображения, от системы (12.6), учитывая свойство III и начальные условия (12.7), придем к операторной системе
Эта система является линейной алгебраической системой уравнений для определения изображений соответствующие оригиналы которых будут решениями задачи Коши (12.6), (12.7).
Пример 4. Решим задачу




Решение. Пусть . Тогда . Записывая изображения
правых частей системы, придем к операторной системе:
решая которую, найдем
откуда

§13. Краевые задачи. Функция Грина
Рассмотрим следующую задачу. Найти решение уравнения
удовлетворяющее условиям:

(13.2)
Здесь , — заданные постоянные. Коэффициенты уравнения (13.1) и его правую часть будем считать непрерывными на отрезке . Поставленная задача называется краевой или граничной задачей, а условия (13.2) называется краевыми (граничными) условиями. Отметим, что эти условия не позволяют определить значения и ни при , ни при . Поэтому краевая задача не сводится к задаче Коши и картина ее разрешимости может быть любой: краевая задача может иметь единственное решение, может иметь бесчисленное множество решений, а может не иметь решений. Отметим также, что если подобрать любую функцию удовлетворяющую краевым условиям (13.2) (ее ищут, как правило, в виде многочлена) и сделать замену искомой функции , то относительно новой неизвестной функции y(t) получится уравнение (13.1) с правой частью с однородным граничным условиям . Поэтому, в дальнейшем, мы будем предполагать, что такая замена уже сделана, и будем искать решение уравнения (13.1), удовлетворяющее однородным граничным условиям


Функцией Грина краевой задачи (13.1), (13.3) называется функция двух
переменных , для которой выполняются следующие условия:
I. При функция удовлетворяет однородному уравнению
II. При и функция удовлетворяет соответственно
первому и второму краевым условиям (13.3).
III. При функция непрерывна:
.
IV. При ее частная производная имеет скачок, равный
:
.
Если краевая задача (13.1), (13.3) имеет единственное решение, то условия
I–IV однозначно определяют ее функцию Грина, а решение краевой задачи
дается формулой

Метод функции Грина удобен в том случае, когда приходится многократно
решать краевую задачу (13.1), (13.3), изменяя лишь правую часть уравнения (13.1) и записывая решение задачи по формуле (13.5).
Введем следующие обозначения:
В этих обозначениях краевые условия (13.3) запишутся так:
Пусть — фундаментальная система решений уравнения (13.4)
и — его общее решение ( , — произвольные
постоянные). Так как краевая задача (13.1), (13.6) имеет единственное решение, то однородная краевая задача (13.4), (13.6) не имеет нетривиальных решений. Поэтому условия
,
могут выполняться лишь при , и определитель этой системы ∆
отличен от нуля:
. (13.7)
Согласно свойству I, будем искать функцию Грина в виде

Тогда, в силу III, при должно выполняться равенство
.
Подставив частную производную функции Грина по переменной t

в условие IV, получим
Вводя новые неизвестные функции , придем к
системе равенств

которая имеет единственное решение так как ее определителем является определитель Вронского фундаментальной системы решений
Удовлетворяя, наконец, условиям II и учитывая (13.6), (13.8), получим
Положив в этих равенствах , мы придем к
системе равенств

(13.10)
которая, согласно (13.7), однозначно разрешима. Определив отсюда а
затем, по найденным ранее , и коэффициенты , функцию
Грина краевой задачи (13.1), (13.3) получим по формуле (13.8).