Решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2 порядка

Mathcad: решение краевой задачи для дифференциального уравнения 2 порядка
Краевая задача — это такое дифференциальное уравнение (или даже система дифференциальных уравнений) с заданными линейными соотношениями между значениями искомых функций на начале и конце заданного интервала.
Частые применения дифуров (обыкновенных дифференциальных уравнений, ОДУ) - решение задач вариационного исчисления, оптимального управления, механики жидкости и газа, баллистики, теории упругости и т.д.
Например, очень распространена на практике (и достаточно универсальна) такая постановка: для дифференциального уравнения второго порядка, имеющего вид
u'' + p(t)*u' + g(t)*u = f(t), t принадлежит интервалу [a,b]
поставлена краевая задача
k₁*u(a) + k₂*u'(a) = A
l₁*u(b) + l₂*u'(b) = B
Здесь u(t) - искомое решение, A, B - заданные краевые условия, определяющие значения искомой функции на концах интервала, p(t), g(t), f(t) - заданные функции коэффициентов, а штрихами, как обычно, обозначаем производные.
Если не вдаваться глубоко в теорию (она есть, например, тут, правда, обозначения другие), то такие задачи решаются методом конечных разностей, суть которого вот в чём:
1. Область непрерывного изменения аргумента t (интервал [a,b]) заменяется дискретным множеством точек (узлов). Количество этих узлов мы будем обозначать m, так что у нас выйдет дискретный аргумент t_i = a + τ*i, i=0,1,...,m, τ=(b-a)/m.
2. Искомая функция u(t) непрерывного аргумента t приближённо заменяется функцией дискретного аргумента t_i на заданной сетке (а производные можно заменить конечными разностями, просто по определению производной). Такая функция называется сеточной.
3. Исходное дифференциальное уравнение заменяется уравнением относительно сеточной функции. Это и есть разностная аппроксимация.
Решение уравнения в нашей постановке сводится к решению СЛАУ с трёхдиагональной матрицей, размерность которой будет (m+1)*(m+1), а все ненулевые элементы сосредоточатся на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях.
Было бы нерационально решать такую систему "в лоб", для неё есть экономичный метод прогонки. Ну а мы реализуем его и конечно-разностный метод в целом при помощи MathCAD.
В тестовых целях возьмём на просторах инета вот такую задачу, для которой известно решение:



Bu sizga ma'lumotlaringizni ko'rsatish orqali boshqa muammoni hal qilish imkonini beradi.
Progonka subprogramma funksiyasini yozish orqali 2-tartibli ODE uchun chegaraviy muammoni yechish uchun supurish usulini amalga oshiramiz. Oddiylik uchun u yuqorida tavsiflangan o'zgaruvchilardan foydalanadi va bir qator parametrlarni olmaydi.

Это позволит вам, задав свои данные, решить другую задачу.
Реализуем метод прогонки решения краевой задачи для ОДУ 2 порядка, написав подпрограмму-функцию Progonka. Для простоты она будет пользоваться описанными выше переменными, а не получать кучу параметров.

Koshi muammosini hal qilishda bo'lgani kabi, biz 2 ustunli matritsani qaytaramiz, ulardan birinchisi to'r tugunlaridagi ti qiymatlari, ikkinchisi diskret funktsiyaning yi ning hisoblangan qiymatlari.

Ta'lim maqsadlarida biz u (t) funktsiyalarini aniqlaymiz - muammoning aniq echimi va Yechim - biz yechim izlayotgan nuqtalarda aniq yechim funktsiyasi qiymatlari jadvalini shakllantirish. raqamli usul.

Ikkala funktsiyani chaqirish va aniq va taxminiy echimlar vektorlari orasidagi farq normasini olib, nima sodir bo'lganini solishtirish qoladi. Ushbu ikkala harakat ham ekranda:

Как и при решении задачи Коши, возвращаем матрицу из 2 столбцов, первый из которых - значения t_i в узлах сетки, второй - вычисленные значения y_i дискретной функции.
В учебных целях определим функции u(t) - точное решение задачи и Solution - формирование таблицы значений функции точного решения в тех же точках, в которых мы искали решение численным методом.
Останется вызвать обе функции и сравнить, что получилось, взяв норму разности векторов точного и приближённого решения. Оба этих действия на скрине: