Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Пример 2. Найти оригиналы следующих изображений :
1) ; 2) ; 3) 4) .
Решение. 1) Имеем

2) Первый способ. Так как , то, согласно V,

Второй способ. Применяя формулу (12.3) при
получим

3) Имеем

4) Первый способ. Так как , то, согласно IV, , а применяя V и I, получим

Второй способ. Применяя формулу (12.2) при , получим




12.2. Решение задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений c постоянными коэффициентами
Рассмотрим следующую задачу: найти решение уравнения
(12.4)
удовлетворяющее начальным условиям
(12.5)

Будем считать, что функция и решение вместе с его производными до -го порядка включительно являются функциями-оригиналами.

Пусть По правилу дифференцирования оригинала

(свойство III) с учетом (12.5) найдем

Применяя к обеим частям уравнения (12.4) преобразование Лапласа и пользуясь свойством линейности преобразования, получаем операторное уравнение
,
в котором , а — некоторый
многочлен степени от p, который получается при переносе в правую
часть операторного уравнения слагаемых, не содержащих искомого изображения X(p):
Тогда и решение задачи Коши сводится к отысканию оригинала по известному изображению .
Пример 3. Рассмотрим задачу .
Решение. Пусть тогда ,
Так как , то операторное уравнение принимает вид

Откуда





Переходя к оригиналам, получим (см. Пример 1) .