Уравнение Шредингера

Уравнение Шредингера План 1 Уравнение Шредингера 2 Частица в прямоугольной яме с бесконечными стенками 3 Гармонический осциллятор 4 Частица в поле с центральной симметрией 5 Орбитальный момент количества движения 6 Спин 7 Полный момент количества движения 8 Квантовые числа 1 Уравнение Шредингера В квантовой физике изменение состояния частицы описывается уравнением Шредингера (1) где  – оператор Гамильтона – аналог классической функции Гамильтона в которой  и  заменены операторами импульса  x,  y,  z и координаты  ,  ,  : х →  = х, y →  = y, z →  = z, (2) Уравнение Шредингера Зависящее от времени уравнение Шредингера: где  – гамильтониан системы. Разделение переменных. Запишем Ψ( ,t) = ψ( )θ(t), где ψ является функцией координат, а θ – функция времени. Если  не зависит от времени, тогда уравнение  ψ = iћψ принимает вид θ ψ = iћψθ или Левая часть является функцией только координат, а правая не зависит от переменной x. Поэтому обе части последнего уравнения должны быть равны одной и той же постоянной, которую обозначим E Следовательно, θ(t) = exp(−iEt/ћ), ψ( ) = Eψ( ) и Ψ( ,t) = ψ( )exp(−iEt/ћ). Уравнение  ψ( ) = Eψ( ) называют стационарным уравнением Шредингера. Для одномерной системы с массой m в поле с потенциалом U(x) оно принимает вид: или  Для трехмерной системы с массой m в поле с потенциалом U( ): −(ћ^2/2m)Δψ( ) + U( )ψ( ) = Eψ( ), где Δ – лапласиан. Так как уравнение Шредингера является линейным уравнением первого порядка по времени, то с его помощью по заданному значению волновой функции Ψ(x, y, z, 0) в момент времени t = 0 можно найти её значение в произвольный момент времени t − Ψ(x, y, z, t). Уравнение Шредингера для стационарного состояния, когда потенциальная энергия частицы не зависит от времени, имеет вид ψ( ) = Eψ( ). (3) Это уравнение называют стационарным уравнением Шредингера. Так как в стационарном состоянии Ψ( ,t) = ψ( )exp(−iEt/ћ) (4) и вероятность найти частицу в момент t в точке x, y, z пропорциональна |Ψ( ,t)|, то она ~ |ψ(x,y,z)|^2, т.е. не зависит от времени. Аналогично, вероятность обнаружить значение физической величины, характеризующей систему, также не изменяется со временем, поскольку выражается через квадрат модуля волновой функции.