Координаты в пространстве

Координаты в пространстве
План:

Введение:

На этом уроке мы познакомимся с прямоугольной системой координат в пространстве, проведем аналогии с координатами на плоскости, а также рассмотрим различные понятия, связанные с координатами и векторами в пространстве.

Мы с вами обсуждали прямоугольную систему координат. Тогда речь шла о плоскости: у нас были две перпендикулярные оси, и каждую точку плоскости мы задавали с помощью так называемых координат, то есть величин, которые требовалось «пройти» до данной точки от начала координат. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Система координат на плоскости

Мы с вами обсуждали прямоугольную систему координат. Тогда речь шла о плоскости: у нас были две перпендикулярные оси, и каждую точку плоскости мы задавали с помощью так называемых координат, то есть величин, которые требовалось «пройти» до данной точки от начала координат. (См. Рис. 1.)

Рис. 1. Система координат на плоскости.

С помощью координат было удобно решать разные задачи, но мы применяем их и в жизни. Например, в кинотеатре мы ищем свое кресло сначала по ряду, а затем по номеру в ряду. (См. Рис. 2.)

Рис. 2. Место в кинотеатре – модель координатной плоскости
Но мы живем не в двухмерном пространстве, а в трехмерном. Поэтому имеет смысл поговорить об аналоге уже привычной нам системы координат, перенеся ее в пространство.
Рассмотрим такую ситуацию. Предположим, что мы пошли не в кино, а на балет. У нас есть билет, на котором написаны ряд и место. Можем ли мы легко найти свое кресло? Да, если речь о партере. Но ведь мы можем сидеть и выше: в амфитеатре или на любом из ярусов. Поэтому в данном случае мы прибегаем к трем измерениям: сначала по высоте (ярус, амфитеатр или партер), затем уже ряд, а затем место. (См. Рис. 3.)



Рис. 3. Расположение мест в театре как пример трехмерной системы координат.

Мы пользуемся координатами и тогда, когда выбираем товары в гипермаркете самообслуживания. Например, мы хотим купить стол и нам дается инструкция, что он находится в  ряду, на  полке снизу, место номер  . Мы сначала ищем ряд (первая координата), затем – место (вторая), потом – полку (третья). Можно, разумеется, сначала найти полку, а потом место. Так или иначе, речь идет о трех координатах.

Прямоугольная система координат в пространстве.

Рассмотрим произвольную точку  пространства. Проведем через нее три попарно перпендикулярные прямые. На каждой из них обозначим направление. Это и будут оси координат – теперь их стало три. Обратите внимание, что ось направлена к нам, ось  вправо, а  – вверх. Порядок здесь важен, так как такие направления образуют так называемую правую тройку. (См. Рис. 4.)

Рис. 4. Оси координат трехмерного пространства
Эту картинку можно поворачивать так, как нам удобно. Например, если мы ее повернем на  против часовой стрелки в плоскости  , то получим следующую картинку:  вправо,  – вглубь,  – вверх. (См. Рис. 5.)



Рис. 5. Поворот «тройки» на  против часовой стрелки в плоскости 
Все это допустимые картинки, выбирайте любую из них. Некоторым удобна последняя, ведь она получается естественным образом из плоскостной. (См. Рис. 6.)

Рис. 6. К системе координат на плоскости добавили ось  .
Ветка. Правая и левая тройки.
Рассмотрим тройку векторов  ,  ,  , отложенных от одной точки  . Эта тройка векторов называется правой, если векторы располагаются так, как расположены соответственно большой, указательный и средний пальцы правой руки. В противном случае тройка называется левой.
На рисунке (См. Рис. 7.) справа изображена правая тройка векторов, а слева – левая. Это также полностью соответствует правилам правой и левой руки из физики.

Рис. 7. Левая и правая тройки
Координаты точки в пространстве.

Оси обозначаются  (ось абсцисс),  (ось ординат) и  (ось аппликат). (См. Рис. 8.)

Рис. 8. Названия координатных осей.
Соответствующие плоскости –  ,  ,  – координатные плоскости. (См. Рис. 9.) Как и на плоскости, у каждой оси в пространстве есть положительное направление и отрицательное.



Рис. 9. Координатные плоскости.
Координаты точки в пространстве определяются аналогично плоскостным. Рассмотрим произвольную точку  и проведем через нее плоскости, параллельные координатным. Эти плоскости пересекут наши оси в точках  (точка пересечения параллельной плоскости с осью  ),  (точка пересечения параллельной плоскости с осью  ) и  (точка пересечения параллельной плоскости с осью  ). (См. Рис. 10.)



Рис. 10. Точки пересечения параллельных плоскостей с осями координат

Тогда абсцисса точки  – это  (в случае если  лежит на положительной полуоси) и  , если  – на отрицательной. (См. Рис. 11.)

Рис. 11. Абсцисса точки  в зависимости от расположения точки 

Аналогично определяются ордината и аппликата. Записывают координаты в круглых скобках через точку с запятой:  , где  ,  ,  (либо  ,  ,  – в зависимости от расположения на осях координат). Не пишите координаты точки через запятую, чтобы не спутать с десятичными дробями.

У точки могут быть и нулевые координаты, если она лежит в координатной плоскости. Например, если взять точку в плоскости  , то ее координаты имеют вид  . А точка на оси  имеет координаты  . Начало же координат – точка  – имеет координаты  . (См. Рис. 12.)

Рис. 12. Точки с нулевыми координатами.


Координаты вектора в пространстве.

Как и на плоскости, отложим на каждой оси от начала координат в положительном направлении по вектору, длины которых будут равны  . Эти векторы называют единичными, или ортами. Обозначают их соответственно  ,  ,  (См. Рис. 13.)

Рис. 13. Орты  ,  , 

Эти векторы не компланарны, то есть не лежат в одной плоскости, а значит, каждый вектор пространства можно единственным образом разложить по векторам  ,  ,  :  . Такие коэффициенты  ;  ;  называют координатами вектора и пишут:  – в фигурных скобках. (См. Рис. 14.)

Рис. 14. Координаты вектора через орты
Так, например, вектор  .


Заключение. На этом уроке мы познакомились с понятием «система координат в пространстве» и выяснили, как задаются координаты точки и координаты вектора.

Список литературы.

Атанасян Л.С. и др. Геометрия. Учебник для 10–11 классов. – 18-е изд. – М.: Просвещение, 2009. – 255 с.

А.В. Погорелов. Геометрия 11 класс. – М.: Просвещение, 2002
В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков. Рабочая тетрадь по геометрии 11 класс, 2013
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы Интернет.

Yaklass.ru (Источник).

Cleverstudents.ru (Источник).

С помощью координат было удобно решать разные задачи, но мы применяем их и в жизни. Например, в кинотеатре мы ищем свое кресло сначала по ряду, а затем по номеру в ряду. (См. Рис. 2.)

Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или, что то же, проекции радиус-вектора r точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

Координаты x, y, z называются соответственно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Вектор в трехмерном пространстве определяется тремя координатами p(x, y, z).
Для векторов трёхмерного пространства указаны правила сложения векторов и умножения их на действительные числа . В применении к любым векторам х, у, z и любым числам a, b эти правила удовлетворяют следующим условиям:
х + у = у + х (перестановочность сложения); 2) (х + у) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения); 3) имеется нулевой вектор 0 (или нуль-вектор), удовлетворяющий условию x + 0 = x: для любого вектора x; 4) для любого вектора х существует противоположный ему вектор у такой, что х + у = 0, 5) 1 · х = х, 6) a(bx) = (ab) х (ассоциативность умножения); 7) (a + b) х = aх + bх (распределительное свойство относительно числового множителя); 8) a(х + у) = aх + aу (распределительное свойство относительно векторного множителя).
14. Уравнение прямой и плоскости в трехмерном пространстве
Всякое уравнение первой степени относительно координат x, y, z
Ax + By + Cz +D = 0 (1)
задает плоскость, и наоборот: всякая плоскость может быть представлена уравнением (1), которое называется уравнением плоскости.
Вектор n (A, B, C ), ортогональный плоскости, называется нормальным вектором плоскости. В уравнении (1) коэффициенты A, B, C одновременно не равны 0.
Особые случаи уравнения (3.1):
1. D = 0, Ax+By+Cz = 0 - плоскость проходит через начало координат.
2. C = 0, Ax+By+D = 0 - плоскость параллельна оси Oz.
3. C = D = 0, Ax +By = 0 - плоскость проходит через ось Oz.
4. B = C = 0, Ax + D = 0 - плоскость параллельна плоскости Oyz.
Уравнения координатных плоскостей: x = 0, y = 0, z = 0.
Прямая в пространстве может быть задана:
1) как линия пересечения двух плоскостей,т.е. системой уравнений:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (2)
2) двумя своими точками M 1 (x 1, y 1, z 1 ) и M 2 (x 2, y 2, z 2 ), тогда прямая, через них проходящая, задается уравнениями:
=  ; (3)
3) точкой M 1 (x 1, y 1, z 1 ), ей принадлежащей, и вектором a (m, n, р), ей коллинеарным. Тогда прямая определяется уравнениями:


. (4)

Уравнения (4) называются каноническими уравнениями прямой.

Вектор a называется направляющим вектором прямой.
Параметрические уравнения прямой получим, приравняв каждое из отношений (4) параметру t:

x = x 1 + mt , y = y 1 + nt , z = z 1 + р t . (5)

Решая систему (2) как систему линейных уравнений относительно неизвестных x и y, приходим к уравнениям прямой в проекциях или к приведенным уравнениям прямой :

x = mz + a, y = nz + b. (6)

От уравнений (6) можно перейти к каноническим уравнениям, находя z из каждого уравнения и приравнивая полученные значения:

.

От общих уравнений (2) можно переходить к каноническим и другим способом, если найти какую-либо точку этой прямой и ее направляющий вектор n = [ n 1, n 2 ], где n 1 (A 1, B 1, C 1 ) и n 2 (A 2, B 2, C 2 ) - нормальные векторы заданных плоскостей. Если один из знаменателей m, n или р в уравнениях (4) окажется равным нулю, то числитель соответствующей дроби надо положить равным нулю, т.е. система

равносильна системе  ; такая прямая перпендикулярна к оси Ох.
Система  равносильна системе x = x 1, y = y 1 ; прямая параллельна оси Oz.
Пример: Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Их три:
Главная формула — косинус угла φ между векторами a = (x1; y1; z1) и b = (x2; y2; z2):

Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — действительные числа, причем, если плоскость проходит через начало координат, D = 0. А если не проходит, то D = 1.

Вектор, перпендикулярный к плоскости Ax + By + Cz + D = 0, имеет координаты: n = (A; B; C).

На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно.

Задача. Найти косинус угла между векторами a = (4; 3; 0) и b = (0; 12; 5).
Решение. Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу:

Задача. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0), если известно, что она не проходит через начало координат.
Решение. Общее уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, но, поскольку искомая плоскость не проходит через начало координат — точку (0; 0; 0) — то положим D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство.
Подставим вместо x, y и z координаты точки M = (2; 0; 1). Имеем:
A · 2 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;
Аналогично, для точек N = (0; 1; 1) и K = (2; 1; 0) получим уравнения:
A · 0 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A · 2 + B · 1 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;
Итак, у нас есть три уравнения и три неизвестных. Составим и решим систему уравнений:

Получили, что уравнение плоскости имеет вид: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.
Задача. Плоскость задана уравнением 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости.
Решение. Используя третью формулу, получаем n = (7; − 2; 4) — вот и все!
Вычисление координат векторов
А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Все просто: зная координаты точек — начала и конца вектора — можно вычислить координаты самого вектора.
Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала.
Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. Выражение «вычесть координаты» означает, что из координаты x одной точки вычитается координата x другой, затем то же самое надо сделать с координатами y и z. Вот несколько примеров:
Задача. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) и C = (− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов AB, AC и BC.
Рассмотрим вектор AB: его начало находится в точке A, а конец — в точке B. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A:
AB = (3 − 1; − 1 − 6; 7 − 3) = (2; − 7; 4).
Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Поэтому имеем:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5). Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).
Ответ: AB = (2; − 7; 4); AC = (− 5; − 3; − 5); BC = (− 7; 4; − 9). Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: очень многие ошибаются, когда работают с отрицательными числами. Это касается переменной y: у точки B координата y = − 1, а у точки C y = 3. Получаем именно 3 − (− 1) = 4, а не 3 − 1, как многие считают. Не допускайте таких глупых ошибок!
Вычисление направляющих векторов для прямых
Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости.
Для начала разберемся с прямыми. Здесь все просто: на любой прямой найдутся хотя бы две различные точки и, наоборот, любые две различные точки задают единственную прямую...
Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: в задаче C2 прямые всегда задаются парой точек. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:

Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. Насколько легко? Взгляните на примеры:
Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведены прямые AC и BD1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Поскольку длина ребер куба в условии не указана, положим AB = 1. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA1 соответственно. Единичный отрезок равен AB = 1.

Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: A = (0; 0; 0) и C = (1; 1; 0). Отсюда получаем координаты вектора AC = (1 − 0; 1 − 0; 0 − 0) = (1; 1; 0) — это и есть направляющий вектор.
Теперь разберемся с прямой BD1. На ней также есть две точки: B = (1; 0; 0) и D1 = (0; 1; 1). Получаем направляющий вектор BD1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).
Ответ: AC = (1; 1; 0); BD1 = (− 1; 1; 1)
Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, проведены прямые AB1 и AC1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых.

Введем систему координат: начало в точке A, ось x совпадает с AB, ось z совпадает с AA1, ось y образует с осью x плоскость OXY, которая совпадает с плоскостью ABC.

Для начала разберемся с прямой AB1. Тут все просто: у нас есть точки A = (0; 0; 0) и B1 = (1; 0; 1). Получаем направляющий вектор AB1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).
Теперь найдем направляющий вектор для AC1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C1 иррациональные координаты. Итак, A = (0; 0; 0), поэтому имеем:

Ответ: AB1 = (1; 0; 1);

Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: координаты вектора просто равны координатам конца. К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки.
Вычисление нормальных векторов для плоскостей
Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор (нормаль) к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости.
Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором.
Еще раз напомню, что всякая плоскость задается в пространстве уравнением Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D — некоторые коэффициенты. Не умаляя общности решения, можно полагать D = 1, если плоскость не проходит через начало координат, или D = 0, если все-таки проходит. В любом случае, координаты нормального вектора к этой плоскости равны n = (A; B; C).
Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости (а следовательно — и нормали), мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:
Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение A1BC1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Ax + By + Cz + 1 = 0, т.е. коэффициент D = 1. Поскольку эта плоскость проходит через точки A1, B и C1, то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;
Аналогично, для точек B = (1; 0; 0) и C1 = (1; 1; 1) получим уравнения:
A · 1 + B · 0 + C · 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A · 1 + B · 1 + C · 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;
Но коэффициенты A = − 1 и C = − 1 нам уже известны, поэтому остается найти коэффициент B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.
Получаем уравнение плоскости: − A + B − C + 1 = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; − 1).
Задача. В кубе ABCDA1B1C1D1 проведено сечение AA1C1C. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA1 соответственно.

В данном случае плоскость проходит через начало координат, поэтому коэффициент D = 0, а уравнение плоскости выглядит так: Ax + By + Cz = 0. Поскольку плоскость проходит через точки A1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство.

Подставим вместо x, y и z координаты точки A1 = (0; 0; 1). Имеем:
A · 0 + B · 0 + C · 1 = 0 ⇒ C = 0;
Аналогично, для точки C = (1; 1; 0) получим уравнение:
A · 1 + B · 1 + C · 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;
Положим B = 1. Тогда A = − B = − 1, и уравнение всей плоскости имеет вид: − A + B = 0, Следовательно, координаты нормального вектора равны n = (− 1; 1; 0).
Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, т.е. принимать произвольные значения. Именно поэтому мы вправе положить B = 1 — без ущерба для общности решения и правильности ответа.
Координаты середины отрезка
Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка.
Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya; za) и B = (xb; yb; zb). Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:

Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов.
Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A1B1. Найдите координаты этой точки.

Поскольку точка K — середина отрезка A1B1, ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Запишем координаты концов: A1 = (0; 0; 1) и B1 = (1; 0; 1). Теперь найдем координаты точки K:

Задача. Единичный куб ABCDA1B1C1D1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A1B1C1D1.

Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. В частности, A1L = C1L, т.е. точка L — это середина отрезка A1C1. Но A1 = (0; 0; 1), C1 = (1; 1; 1), поэтому имеем:

Ответ: L = (0,5; 0,5; 1)