Векторное и смешанное произведение векторов

Тема: Векторное и смешанное произведение векторов.

План:

Введение

• 
  1 Определение
  
• 
  2 Правые и левые тройки векторов в трёхмерном пространстве
  
• 
  3 Свойства
  
  • 
    3.1 Геометрические свойства векторного произведения
    
  • 
    3.2 Алгебраические свойства векторного произведения
    
• 
  4 Выражение для векторного произведения в декартовых координатах
  
• 
  5 Обобщения
  
• 
  6 Алгебра Ли векторов
  

Примечания
Литература

Введение

Векторное произведение — это псевдовектор, перпендикулярный плоскости, построенной по двум сомножителям, являющийся результатом бинарной операции «векторное умножение» над векторами в трёхмерном Евклидовом пространстве. Произведение не является ни коммутативным, ни ассоциативным (оно является антикоммутативным) и отличается от скалярного произведения векторов. Во многих задачах инженерии и физики нужно иметь возможность строить вектор, перпендикулярный двум имеющимся — векторное произведение предоставляет эту возможность. Векторное произведение полезно для «измерения» перпендикулярности векторов — длина векторного произведения двух векторов равна произведению их длин, если они перпендикулярны, и уменьшается до нуля, если векторы параллельны.
Векторное произведение определено только в трёхмерном и семимерном пространстве. Результат векторного произведения, как и скалярного, зависит от метрики Евклидова пространства.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит от ориентации прямоугольной системы координат или, иначе, её «хиральности».

Векторное произведение в трёхмерном пространстве.

Векторным произведением вектора на вектор в пространстве называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

• 
  длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними
  

• 
  вектор ортогонален каждому из векторов и
  
• 
  вектор направлен так, что тройка векторов является правой.
  
• 
  в случае пространства требуется ассоциативность тройки векторов .
  

Обозначение:

В литературе ^[1] определение векторного произведения может даваться по-разному. Например, в качестве определения даётся описанное далее выражение векторного произведения в координатах в правой и левой прямоугольной системе координат. А далее выводится данное выше определение, а также определение правой и левой тройки векторов.

Также для исходного определения может быть взят набор алгебраических свойств векторного произведения, а из них выводиться остальное.