Понятие вектора и линейные действия над векторами план

ПОНЯТИЕ ВЕКТОРА И ЛИНЕЙНЫЕ ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ
ПЛАН:

1. 
   Понятие вектора
   
2. 
   Линейные операции над векторами
   
3. 
   Определение разности
   

При изучении различных разделов физики, механики и технических наук встречаются величины, которые полностью определяются заданием их числовых значений. Такие величины называютсяскалярнымиили, короче,скалярами . Скалярными величинами, например, являются длина, площадь, объем, масса, температура тела и др. Помимо скалярных величин, в различных задачах встречаются величины, для определения которых, кроме числового значения, необходимо знать также их направление. Такие величины называютсявекторными. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, двигающейся в пространстве, скорость и ускорение этой точки, а также действующая на нее сила. Векторные величины используются, например, и в климатологии. Рассмотрим простой пример из климатологии. Если мы скажем, что ветер дует со скоростью 10 м/с, то тем самым введем скалярную величину скорости ветра, но если мы скажем, что дует северный ветер со скоростью 10 м/с, то в этом случае скорость ветра будет уже векторной величиной.

Векторные величины изображаются с помощью векторов.
Векторомназывается направленный отрезок, имеющий определенную длину, т.е. отрезок определенной длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая - за конец. ЕслиА - начало вектора иВ - его конец, то вектор обозначается символом . Вектор можно обозначать и одной малой латинской буквой с чертой над ней (например, ). Изображается вектор отрезком со стрелкой на конце (рис. 24). Начало вектора называютточкой его приложения. Если точкаА является началом вектора  , то мы будем говорить, что вектор приложен в точкеА.
Длина вектора  называется егомодулем и обозначается символом .Модуль вектора  обозначается . Вектор , для которого , называетсяединичным
Вектор называется нулевым(обозначается ), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления и имеет длину, равную нулю.

Рис.24

Рис.25
Векторы  и , расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называютсяколлинеарными.
Два вектора  и называютсяравными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление.
В этом случае пишут:  = . Все нулевые векторы считаются равными. Из определения равенства векторов следует, что вектор можно параллельно переносить, помещая его начало в любую точку пространства (в частности, плоскости). Такой вектор называется свободным.
Пример. Рассмотрим квадрат (рис. 25). На основании определения равенства векторов можем написать  и , но , хотя .
Два коллинеарных вектора (отличные от нулевых векторов), имеющие равные модули, но противоположно направленные, называются противоположными.
Вектор, противоположный вектору  , обозначается . Для вектора противоположным будет вектор .
Линейные операции над векторами.
Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число.

Определение. Пусть  и два свободных вектора (рис. 26,а). Возьмем произвольную точку О и построим вектор  = ,затем от точки А отложим вектор =  ,Вектор , соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго, называетсясуммойэтих векторов и обозначается (рис. 26,б). Ту же самую сумму векторов можно получить иным способом.
Отложим от точки О векторы  = и . Построим на этих векторах как на сторонах параллелограмм О ABC Вектор , служащий диагональю этого параллелограмма, проведенной из вершиныО, является, очевидно, суммой векторов (рис. 26, в). Из рис. 26, в непосредственно следует, что сумма двух векторов обладает переместительным свойством:
.
Действительно, каждый из векторов  и равен одному и тому же вектору .
Понятие суммы векторов, введенное для двух слагаемых векторов, можно обобщить на случай любого конечного числа слагаемых векторов.
Пусть, например, даны три вектора  , и (рис. 27,а). Построив сначала сумму векторов , а затем прибавив к этой сумме вектор получим вектор . На рис. 27, б) = , , , и .
Из рис. 27, б видно, что тот же вектор мы получим, если к вектору = прибавим вектор . Таким образом,

Рис.27

(  + ) + = + ( + ),
т.е. сумма векторов обладает сочетательнымсвойством. Поэтому сумму трех векторов , , записывают просто .
Итак, сумму трех векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки О откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго; к концу второго - начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов. Подобным же образом строится сумма любого конечного числа векторов.
Если при сложении нескольких векторов конец последнего слагаемого вектора совпадает с началом первого, то сумма векторов равна нулевому вектору. Очевидно, что для любого вектора имеет место равенство  .
Определение. Разностью  и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , .
Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора-разности (рис. 28). Откладываем векторы
=  и = из общей точкиО. Вектор , соединяющий
концы уменьшаемого вектора  и вычитаемого вектора и направленный от вычитаемого к уменьшаемому, является разностью . Действительно, по правилу сложения векторов
, или  .
Определение. Произведением  ( или ) на , называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную и то же направление, что и вектор , если > 0, и направление, противоположное направление < 0. Так, например, 2 есть вектор, имеющий то же направление, что и вектор , а длину, вдвое большую, чем вектор . В случае, когда = 0 или , произведение представляет собой нулевой вектор. Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на

Так, западный ветер можно представить как отрицательный восточный ветер. Очевидно, что  .
Пусть дан вектор  . Рассмотрим единичный вектор , коллинеарный вектору и одинаково с ним направленный. Из определения умножения вектора на число следует, что
,
т.е. каждый вектор равен произведению его модуля на единичный вектор того же направления. Далее из того же определения следует  = , где ненулевой вектор, то векторы и коллинеарны.
Очевидно, что и, обратно, из коллинеарности векторов  и следует, что .
Таким образом, два вектора  и коллинеарны тогда и только тогда, когда имеет место равенство
=  .
Легко убедиться, что умножение вектора на число обладает
и сочетательным свойством
.
Справедливость, например, равенства (1) при  следует из того, что при изменении сторон параллелограмма в раз в силу свойств подобия его диагональ также изменяется в