Определение Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f –1(О) открыт в пространстве Х. Замечание 1

§1. Топологические пространства
(предварительные сведения)

1. 
   Непрерывные отображения топологических
   

пространств
Пусть Х и Y топологические пространства.
Определение 1. Отображение f : Х→Y называется непрерывным, если у всякого множества О, открытого в пространстве Y, полный прообраз f ^–1(О) открыт в пространстве Х.
Замечание 1. Для любого подмножества А пространства Y и отображения f: X→Y справедливо следующее равенство:
(1).
Теорема 1.1. Отображение f : X→Y  является непрерывным тогда и только тогда, когда у всякого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f ^–1(F) замкнут в Х.
Доказательство. Необходимость. Пусть отображение f : X→Y является непрерывным, т.е. для любого множества О, открытого в Y, прообраз f ^–1(O) открыт в Х, и пусть F произвольное замкнутое в Y множество. Тогда множество CF открыто в Y, и множество открыто в Х, в силу непрерывности отображения f и равенства (1). Следовательно, множество f ^–1(F) замкнуто в Х.
Достаточность. Пусть для любого множества F, замкнутого в Y, полный прообраз f ^–1(F) замкнут в Х. Рассмотрим произвольное открытое в Y множество О. Тогда множество CO будет замкнутым в Y. Поэтому замкнутое в Х множество. Следовательно, множество открыто в Х. Таким образом, для любого множества О, открытого в Y, полный прообраз открыт в Х и отображение f : X→Y непрерывное по определению. 


1.2. Связность топологических пространств