Решение системы, соответствующее этому корню, ищем в виде (11. 6) (при ):, в котором — неопределенные коэффициенты. Подставив эти соотношения в исходную систему и сократив на et

Пример 5. Рассмотрим систему уравнений

Решение. Запишем соответствующую однородную систему в операторной форме:

Многочлен этой системы имеет двукратный корень . Решение
системы, соответствующее этому корню, ищем в виде
Подставив этот вид решения в систему и приравняв нулю свободные члены и коэффициенты при t, придем к линейной однородной алгебраической системе из четырех уравнений, ранг матрицы которой равен двум. Решив полученную систему, общее решение однородной системы запишем следующим образом:
Следовательно, фундаментальную систему решений образуют вектор-функции с компонентами

Система (11.13) в нашем случае принимает вид:

Отсюда находим

Таким образом, общее решение исходной системы имеет вид

§12. Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и систем c постоянными коэффициентами

12.1. Преобразование Лапласа
Функцией-оригиналом называется любая комплекснозначная функция f(t)
действительного аргумента t, удовлетворяющая следующим условиям:
1) , если ;
2) интегрируема на любом конечном интервале оси t;
3) растет не быстрее показательной функции, т.е., существуют постоянные и такие, что для всех t выполняется неравенство
Очевидно, условиям 2), 3) удовлетворяют многие элементарные функции:
и другие. Условие 1) кажется несколько искуственным и вызвано, в первую очередь, тем, что излагаемый метод был предложен для решения дифференциальных уравнений и систем, описывающих некоторые физические процессы, в частности, в задачах радиофизики, в которых за независимую переменную берется время t > 0 от начала процесса, а правые части могут иметь конечное число точек разрыва первого рода и быть заданными графически. С другой стороны, если умножить функцию, удовлетворяющую условиям 2), 3) на единичную функцию Хевисайда
то получится функция-оригинал. Поэтому мы будем заранее предполагать,
что такое домножение уже произведено и функцию будем считать
функцией-оригиналом .
Изображением функции-оригинала по Лапласу называется функция
комплексной переменной , определяемая равенством

Функция определена в полуплоскости и является в этой
полуплоскости аналитической функцией, причем . Тот факт, что
функция есть изображение функции-оригинала , мы будем символически записывать следующим образом:
.