Дифференцируемость отображений в геометрии многообразий карно

Предложение 1.1. (14-16). В качестве псевдометрики можно взять метрику Карно – Каратеодори .
Доказательство. Соотношение доказано в (16). Для доказательства неравенства фиксируем компактное подмножество М и предположим противное: для каждого существуют такие точки . В этом случае имеем , так как иначе одновременно получим при и для всех , что невозможно. Мы также можем предположить, что при и Полагая , имеем и где – метрика Карно – Каратеодори относительно базиса . Так как по теореме 1.1 длины векторов ограничены сверху, то . Это противоречит тому, что для всех (см. (1.8)).


§2. Понятие дифференцируемости
на многообразиях Карно
Далее мы расширяем действие растяжений на отрицательные t, полагая в случаях Удобство этого расширения проявится ниже при сравнении различных типов дифференцируемости.
2.1. Пусть M, N – два многообразия Карно. Векторные поля на пространстве N будем обозначать символом Все оставшиеся объекты на многообразии Карно N (расстояние, касательный конус и т.д.) будем помечать сверху знаком «-«, кроме тех случаем, когда и без этого ясно, о каком пространстве идет речь: например, для данного отображения очевидно, что G^g – касательный конус в точке касательный конус в точке метрика в конусе G^g, а – метрика в конусе , и т.д.
Напомним, что горизонтальным гомоморфизмом групп Карно называется непрерывный гомоморфизм групп Карно такой, что
1)
Горизонтальный гомоморфизм локальных групп Карно отличается от приведенного тем, что включение выполняется лишь для таких , что .
Можно доказать, что горизонтальный гомоморфизм обладает также свойством
2) для всех (в случае горизонтального гомоморфизма локальных групп Карно равенство выполняется лишь для таких , что , а .
Определение 2.1. (19,20). Пусть даны многообразия Карно (M, d_M), (N,d_N) и множество Отображение называется hc – дифференцируемым в точке , если существует горизонтальный гомоморфизм локальных групп такой, что

Горизонтальный гомоморфизм , удовлетворяющий условию (2,1), называется hc – дифференцируемым отображения в точке на множестве Е и обозначается символом Можно проверить (20,21), что если – точка плотности, то hc – дифференциал единствен.
Более того, легко показать, что в этом случае hc – дифференциал коммутирует с локальной однопараметрической группой растяжений: