Differensial tenglamalardan referat mavzusi

2-taʼrif. Agar bir vaqtda nolga teng boʻlmagan n ta 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛 sonlar mavjud boʻlib, barcha 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] lar uchun
𝛼₁ ∙ 𝑦₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑦₂ + 𝛼₃ ∙ 𝑦₃ + ⋯ 𝛼_𝑛 ∙ 𝑦_𝑛 = 0 (5)
аyniy munosabatlar bajarilsa, [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, … , 𝑦_𝑛 funksiyalar sistemasi [a,b] kesmada chiziqli bogʻliq deyiladi.
Agar, masalan, 𝛼_𝑛 ≠ 0 deb faraz qilsak, (5) munosabatni quyidagicha yozish mumkin:
𝑦𝑛 = 𝛽1 ∙ 𝑦1 + 𝛽2 ∙ 𝑦2 + 𝛽3 ∙ 𝑦3 + ⋯ + 𝛽𝑛−1 ∙ 𝑦𝑛−1
bu yerda
𝛼1 𝛼2 𝛼𝑛−1
𝛽₁ = − ; 𝛽₂ = − ; … ; 𝛽_𝑛−1 = − ;
𝛼𝑛 𝛼𝑛 𝛼𝑛
Shuning uchun funksiyalar sistemasining chiziqli bogʻliqligi sistemaning funksiyalaridan hech boʻlmaganda bittasi qolganlarining chiziqli kombinatsiyasidan iborat boʻlishini bildiradi. Xususan, ikkita: 𝑦₁ va 𝑦₂ funksiya 𝑦₂ = 𝛽 ∙ 𝑦₁ yoki ^𝑦_𝑦²1 = 𝛽, yaʻni ularning nisbati oʻzgarmas son boʻlganda chiziqli bogʻliq boʻladi.
3-taʼrif. Agar 𝛼₁ ∙ 𝑦₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑦₂ + 𝛼₃ ∙ 𝑦₃ + ⋯ 𝛼_𝑛 ∙ 𝑦_𝑛 = 0 munosabat faqat
𝛼₁ = 𝛼₂ = ⋯ = 𝛼_𝑛 = 0
shartda bajarilsa, [a,b] kesmada aniqlangan va uzluksiz 𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛 funksiyalar sistemasi chiziqli erkli deyiladi.
Xususan ikkita: 𝑦₁ va 𝑦₂ funksiya 𝑦₂ ≠ 𝛼 ∙ 𝑦₁ yoki ^𝑦_𝑦²1 ≠ 𝛼, yaʻni ularning nisbati oʻzgarmas songa teng boʻlmaganda chiziqli erkli boʻladi.
1-misol. Ushbu 𝑦₁ = 𝑐𝑜𝑠²𝑥; 𝑦₂ = 𝑠𝑖𝑛²𝑥, 𝑦₃ = 𝑎 funksiyalar sistemasi barcha 𝑥 ∈ (−∞; +∞) lar uchun chiziqli bogʻliq. Haqiqatdan ham 𝛼₁ = 1; 𝛼₂ =
1;
1
𝛼₃ = − _𝑎 da x uchun quyidagiga egamiz:
𝛼₁ ∙ 𝑦₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑦₂ + 𝛼₃ ∙ 𝑦₃ = 𝑐𝑜𝑠²𝑥 + 𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 1 = 0