Differensial tenglamalardan referat mavzusi

2-misol. Ushbu
𝑦₁ = 𝑐𝑜𝑠²𝑥; 𝑦₂ = 𝑠𝑖𝑛²𝑥; 𝑦₃ = 𝑒^𝑥; 𝑦₄ = 𝑠𝑖𝑛2𝑥; 𝑦₅ = 𝑐𝑜𝑠2𝑥, 𝑦₆ = 𝑙𝑛𝑥 funksiyalar sistemasi chiziqli bogʻliq. Haqiqatdan ham,
𝛼₁ = 1; 𝛼₂ = −1; 𝛼₃ = 𝛼₄ = 𝛼₆ = 0; 𝛼₅ = −1;
da istalgan x uchun quyidagiga egamiz:
𝛼₁ ∙ 𝑦₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑦₂ + 𝛼₃ ∙ 𝑦₃ + 𝛼₄ ∙ 𝑦₄ + 𝛼₅ ∙ 𝑦₅ + 𝛼₆ ∙ 𝑦₆ =
= 𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 𝑠𝑖𝑛²𝑥 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 0
3-misol. Ushbu
𝑦₁ = 1; 𝑦₂ = 𝑥; 𝑦₃ = 𝑥²; … ; 𝑦_𝑛+1 = 𝑥^𝑛
Funksiyalar sistemasi chiziqli erkli.
Haqiqatdan ham
𝛼₁ ∙ 𝑦₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑦₂ + 𝛼₃ ∙ 𝑦₃ + ⋯ 𝛼_𝑛+1 ∙ 𝑦_𝑛+1 = 𝛼₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑥 + ⋯ + 𝛼_𝑛+1𝑥^𝑛 = 0
Tenglik x ning n dan katta boʻlmagan qiymatlari (n-darajali tenglama ildizlari) uchun oʻrinli. Qolgan hollarda tenglik 𝛼₁ = 𝛼₂ = ⋯ = 𝛼_𝑛+1 = 0 boʻlganda oʻrinli.
4-misol. Ushbu 𝑦₁ = 𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝑦₂ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 funksiyalar sistemasi chiziqli erkli.
Haqiqatdan ham, 𝛼₁ ∙ 𝑦₁ + 𝛼₂ ∙ 𝑦₂ = 𝛼₁ ∙ 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝛼₂ ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 0 tenglik faqatgina
𝛼₁ = 𝛼₂ = 0 boʻlgandagina oʻrinli. Funksiyalar soni ikkita boʻlganda ularning chiziqli erkliligini bu funksiyalarning nisbatidan foydalanib aniqlash mumkin. ^𝑦1 =
𝑦2
𝑡𝑔𝑥 boʻlib, barcha x lar uchun oʻzgarmas son boʻlmagani sababli 𝑦₁ = 𝑠𝑖𝑛𝑥; 𝑦₂ = 𝑐𝑜𝑠𝑥 lar chiziqli erkli.
2. Vronskian. Fundamental yechim.
4-ta’rif. (𝑛 − 1) marta diffеrеnsiallanuvchi 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, … , 𝑦_𝑛 funksiyalar sistеmasining Vronskiy dеtеrminanti yoki vronskiani dеb

𝑦1 𝑦1′ 𝑊(𝑥) = | … ^𝑦1(𝑛−1)

𝑦2 𝑦2′ … ^𝑦2(𝑛−1)

… 𝑦𝑛 … 𝑦𝑛′ … … | … ^𝑦𝑛(𝑛−1)

dеtеrminantga aytiladi.
Bu dеtеrminant x ning funksiyasi bo‘lib, 𝑊(𝑥) = 𝑊(𝑦₁, 𝑦₂, … , 𝑦_𝑛) kabi bеlgilanadi. Bu dеtеrminant funksiyalarning chiziqli bog‘liq yoki chiziqli erkli ekanini o‘rganish vositasi bo‘lib xizmat qiladi .
3-tеorеma. Agar 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, … , 𝑦_𝑛 funksiyalar sistеmasi chiziqli bog‘liq bo‘lsa, bu sistеmaning Vronskiy dеtеrminanti 𝑊(𝑥) funksiya aniqlangan barcha nuqtalarida aynan nolga tеng bo‘ladi.
Eslatma: Teoremadan funksiya aniqlangan nuqtalarning hech boʻlmaganda bittasida 𝑊 ≠ 0 boʻlsa, 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, … , 𝑦_𝑛 funksiyalar sistemasi bu sohada chiqilli erkli boʻlishi kelib chiqadi.
5-misol. 𝑒^𝑘1𝑥; 𝑒^𝑘2𝑥; 𝑒^𝑘3𝑥 – funksiyalar sistemasi 𝑘₁, 𝑘₂, 𝑘₃-lar turlicha boʻlganda barcha x lar uchun chiziqli erkli ekanligini koʻrsating:
Yechish. Vronskiy determinantini tuzamiz va uni hisoblaymiz:

𝑒𝑘1𝑥 𝑊 = |𝑘1𝑒𝑘1𝑥 𝑘12𝑒𝑘^1𝑥

𝑒𝑘2𝑥 𝑘2𝑒𝑘2𝑥 𝑘22𝑒𝑘2𝑥

𝑒𝑘3𝑥 1 𝑘3𝑒𝑘3𝑥|=𝑒𝑘1𝑥 𝑒𝑘2𝑥 𝑒𝑘3𝑥 |𝑘1 𝑘32𝑒𝑘3𝑥 𝑘12

1 𝑘2 𝑘22

1 𝑘3| = 𝑘32

𝑘 − 𝑘 𝑘 − 𝑘

= 𝑒(𝑘¹+𝑘²+ 𝑘³)𝑥 ^|𝑘2₂2 − 𝑘₁21 𝑘3₃2 − 𝑘₁21|
= 𝑒(𝑘1+𝑘2+ 𝑘3)𝑥 ∙ (𝑘2 − 𝑘1)(𝑘3 − 𝑘1)(𝑘3 − 𝑘2) ≠ 0
Barcha x lar uchun. Demak 𝑘₁, 𝑘₂,𝑘₃-lar turlicha boʻlganda, 𝑒^𝑘1𝑥; 𝑒^𝑘2𝑥; 𝑒^𝑘3𝑥 – funksiyalar sistemasi barcha x lar uchun chiziqli erklidir.
4- tеorеma: Agar 𝑦₁, 𝑦₂, 𝑦₃, … , 𝑦_𝑛 funktsiyalar chiziqli erkli va (2) chiziqli bir jinsli tеnglamaning yеchimlari bo‘lsa, u holda bu funksiyaning Vronskiy dеtеrminanti tеnglamaning koeffitsiyеntlari aniqlangan sohaning hеch bir nuqtasida nolga tеng bo‘lmaydi.
Natija. Chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning yechimlari boʻlgan 𝑦₁(𝑥), 𝑦₂(𝑥), 𝑦₃(𝑥),… , 𝑦_𝑛(𝑥) funksiyalar sistemasining Vronskiy determinant yoki
aynan nol, yoki hech bir nuqtada nolga teng boʻlmaydi. Bu
𝑦₁(𝑥), 𝑦₂(𝑥), 𝑦₃(𝑥),… , 𝑦_𝑛(𝑥) yechimlar sistemasi yoki chiziqli bogʻliq, yoki chiziqli erkli boʻlishidan kelib chiqadi.