Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish reja differensial tenglama tenglamalarni taqribiy yechish usullari

y^”=x²u (7.2.4)

tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)

(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak

y⁽³⁾=2xy+x²y ^’

y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’

y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’

y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾

y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾

y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:

y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0;

y⁽⁸⁾(0)=60.

Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:

y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (7.2.6)

Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.

Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.
Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:
u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (7.2.7)
Bundan ikki marta hosila olsak

y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1...

u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2...

Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (7.2.7) ga qo’ysak

u=1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+a_nxⁿ
Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y^’’-x²y =0 foydalanamiz:

2a₂ +6a₃x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+...+ n(n-1) a_n x^n-2–

–x²(1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+ a_nxⁿ+...)=0.

Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz

2a₂+6a₃x+(12a₄–1)x²+20a₅x³+(30a₆ –a₂)x⁴+(42a₇–a₃)x⁵+

+(56a₈–a₄)x⁵...=0.

Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a₂=0, a₃=0, 12a₄–1=0 .

Bundan a₄= ; a₅=0; 30a₆-a₂=0; a₆=0 ;a₇=0 va 56a₈-a₄=0 x.k.
Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin
u=1+ x⁴+ x⁸...
Galerkin usuli
Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.