Differensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish reja differensial tenglama tenglamalarni taqribiy yechish usullari
Download 415.5 Kb.
|
DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI QATORLAR YORDAMIDA YECHISH
MAVZU: DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI QATORLAR YORDAMIDA YECHISH REJA 1.DIFFERENSIAL TENGLAMA 2.TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH USULLARI Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi. Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi. Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi. Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi) Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin. Bizga, y’=f(x,y) (7.1.1) birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x0)=u0 - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x0| a; |y-y0| b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin. (7.1.1) dan dy=f(x,u)dx ifodani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak (7.1.2) Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda (7.1.3) Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (7.1.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi. (7.1.3) da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz: (7.1.4) Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u1” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u2(x)” ni hosil qilamiz: (7.1.5) Ushbu jarayonni davom ettirsak (7.1.6) Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), (7.1.7) Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz: Teorema. Agar (x0;u0) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi fy (x,y) mavjud bo’lsa, u holda Pikar {yi (x)} ketma-ketligi (7.1.1) tenglamaning yechimi bo’lgan va u(x0)= u0 shartni qanoatlantiruvchi u(x) funktsiyaga yaqinlashadi. Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (7.1.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (7.1.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi. Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning x0=0 da u0=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin. Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz: (7.1.5) ga asosan Xuddi shuningdek u3 va u4 ni ham hisoblasak Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor: Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u3 va u4 aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi. Darajali qatorlar yordamida integrallash Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama (7.2.1) uchun boshlang’ich shartlar berilgan (7.2.2) Tenglamaning o’ng tomoni boshlang’ich nuqta M0(x0, u0, u’0, ..., u0(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin. (7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x0-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:
Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi. Agar x0=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin. Misol.
Download 415.5 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling