Diffirensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish

Diffirensial tenglamalarni qatorlar yordamida yechish
Reja:

1. 
   Qatorlar haqida umumiy ma’lumot .
   

2.Qatorlarni differensial tenglamalrga tadbiq qilish.

3. 
   Taqribiy yechish .
   

1. 
   Sonli qator tushunchasi .
   

2. 
   Qatorlarni differensial tenglamalarga tadbiq qilish.
   

Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish yordamida xar xil differensial tenglamalarni taqriban integrallash mumkin . Murakkab nazariy tasavvurlarga berilmasdan , xususiy yechimni topishning ikkita usulini qaraymiz .
Birinchi usul. Differensial tenglama va xususiy yechimini aniqlovchi boshlangich shartlar berilgan bo’lsin . Tenglamaning yechimini boshlangich shartlar berilgan x0 nuqta atrofida (x-x0)ning darajalari bo’yicha joylashgan qatorga yoyish mumkin :

Hozircha nomalum koeffitsentli bu qatorni tenglamaning tartibi qanday bo’lsa shuncha marta differensiallaymiz .
Shundan keyin tenglamada nomalum funksiya va uning xosilalari o’rniga tegishli qatorlarni qo’yib , ayniyatga ega bo’lamiz , undan qatorning nomalum koeffitsentlari aniqlaymiz . Bunda qatorning dastlabki koeffitsentlari (ularning soni tenglama tartibiga teng) boshlangich shartlardan aniqlanadi . Ayniqsa chiziqli tenglamalarni bunday usul bilan yechish qulay.
Ikkinchi usul. Agar tenglama chiziqli bo’lmasa , u holda u o’rniga uning qatori yoyilmasi :

ni qo’shib nomalum koeffitsentlarni aniqlash uchun murakkab tenglamalarga olib keladi . Bunday xollarda quyidagicha ish ko’rish foydali. Tenglamada u ni x ning funksiyasi deb qarab uni bir necha martta differensialanadi . Tenglamaning o’zida va uning hosilasida x=x0 (x0 uchun boshlangich shartlar berilgan) deb olib va boshlangich shartlarni inobatga olgan xolda qator koeffitsentlari ketma ket topiladi.

3. 
   Differensial tenglamalarni taqribiy yechish .
   

Birinchi usul bo’yicha :
1-misol. Ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamani shartlarda yeching .
Yechish : x0=0 bo’lgani uchun yechimni x ning darajalari bo’yicha tuzilgan qator ko’rinishida izlaymiz :

Bu qatorni ikki martta differensiallaymiz:

Boshlangich shartlardan foydalanib x=0 qiymatni boshida berilogan ikkita qatorga qo’yib dastlabki koeffitsentlarini topamiz: a0=1, a1=0.
Shundan keyin berilgan tenglamadagi y va lar o’rniga ularning qator yoyilmalarini qoyib

Ayniyatga ega bo’lamiz xning bir hil darajalari oldidagi koeffitsentlarni tenglab topamiz:

Bundan a0=1 , a1=0 ekanini hisobga olib, quyidagilarni ko’rish oson :

Boshqacha aytganda . qatorda

Bu qatorning qolgan koeffitsentlari esa nolga aylanadi.
Shunday qilib biz tenglamaning qator ko’rinishdagi yechimiga ega bo’lamiz:

Bu qator x ning har qanday qiymatida yaqinlashuvchi ekanini Dalamber akomati yordamida ko’rsatish mumkin . Shuni qayd qilamizki tenglamaning tartibi yordamida yechish usuliga hech bir ta’sir etmaydi .
Ikkinchi usul bo’yicha :
Misol. = + tenglama yechimining darajali qatorga yoyilmasining bir necha xadini boshlangich shartlarda toping.
Yechish . Yechimi:

Qator ko’rinishida izlaymiz. Malumki bu qatorning koeffitsentlari Teylor koeffitsentlaridir , ular y funksiyaning x=1 nuqtadagi hosilalari orqali quyidagi formulalar bilan ifodalanadi:

Bunda ushbu belgilashlar jiritilgan :
berilgan tenglamani bir necha marta differensiallaymiz va hosilalarining x=1 nuqtadagi qiymatlarinihisoblaymiz. Shunday qilib:

Xosilalarning topilgan qiymatlarini qator koeffitsentlarining formulalariga qoyamiz. Quyidagi qiymatlar hosil boladi :

Shunday qilib tenglamaning :

Qator ko’rinishidagi yechimiga ega bo’lamiz . yechishning bu usulini xar qanday tartibli tenglamaga qo’llay olamiz.

Foydalanilgan adabiyotlar va saytlar:

Oliy matematika asoslari 1. Qism Yo.Soatov
Oliy matematika asoslari 2. Qism Yo.Soatov
Oliy matematika asoslari 3. Qism Yo.Soatov
Oliy matematikaga kirish 1-2 qism Toshkent 2011
www.fayl.org.uz
www.ziyo.net
www.arxiv.uz