Differensial tenglamalarni Runge-Kutta usullarda taqribiy yechish

Differensial tenglamalarni Runge-Kutta usullarda taqribiy yechish .
Differensial tenglamalar ximiya, biologiya, meditsina, sotsiologiya, qurilish, arxitektura, qishloq xo‘jalik va iqtisodiyotdagi jarajonlarni matematik modellashtirish asoslariniini tashkil qilganligi sababli barcha mutaxasislardan differensial tenglamalarni yechish va tatqiq qilish ko‘niqmalariga ega bo‘lish talab qilinadi.
Differensial tenglamalar kursini oʻrganish jarayonida maxsus koʻrinishlarga ega boʻlgan differensial tenglamalarni yechish usullarini koʻrib chiqdik. Bu usullarjuda koʻp boshqa holatlarni qamrab ololmaydi. Shuning uchun ham tenglama koʻrinishiga bogʻliq boʻlmagan universal usullarni qidirishga sabab boʻldi. Hisoblash mashinalarining rivojlanishi taqribiy sonli usullarni muvoffaqiyatli qoʻllanilish imkoniyatini yaratdi.
1.Runge-Kutta usuli
Ushbu kursini oʻqish jarayonida taʼkidlangan ediki, matematikaning differensial tenglamalar boʻlimi amaliy masalalardan kelib chiqqan. Shuning uchun ham (1)
bunda formulaga oʻxshash universal usullarni yaratish doimiy dolzarb muammo boʻlib kelgan. Ushbu muammoni yechishga turli xil soxa vakillari ham qoʻl urishgan. Bunga yaqqol misol bittasi fizik, bittasi astronom boʻlgan olimlar tomonidan yaratilgan Runge-Kutta usuli hisoblanadi. Ushbu usulning yaratilishiga asos boʻlib,

(2)
- qator xizmat qildi. Eyler usuli (1) dan farqli ravishda, ular ikkita emas, balki beshta haddan foydalanishdi. Bundan tashqari Runge-Kutta usulida (2)-qatorga kiradigan hosilalarni hisoblash talab etilmaydigan formulalar taklif etildi. Nazariy jihatdan ushbu formulalarning kelib chiqishiga toʻxtalmasdan, ishchi formulalarga toʻxtalamiz. Boʻlish qadami Eyler usulidagidek formula bilan aniqlanadi.
Qidirilayotgan funksiya qiymatlarini topish formulalari quyidagicha boʻladi:
(3)
.
Koʻrinib turibdiki, Runge-Kutta usulida har bir qadamda formal ravishda Eyler usuliga nisbatan 5 marotaba koʻp hisoblash hajmi oshib boradi. Runge-Kutta usulining har bir qadamdagi xatoligi tartibida boʻladi. Aynan shuning uchun ham birinchi tartibli differensial tenglamalar uchun Koshi masalasini taqribiy yechishda Runge-Kutta usuli asosiy usulga aylandi.
Shuni eʼtiborga olish lozimki juda koʻp sonli usullar uchun tadbiq qilish dasturlari yaratilgan va bu dasturlar zamonaviy kompyuterlar operatsion sistemalarida mavjud. Ushbu dasturlarga murojaat soddalashtirilgan. Differensial tenglamalarni matematik paketlardan (WolframAlpha, Matlab, Mathcad) foydalanib yechish mumkin. WolframAlpha –matematika va fizikada juda murakkab tenglamalarni yechish qobiliyati bilan mashhur. Differensial tenglamaning oʻng tomoni f(x,y), boshlangʻich shart va aniqlikni berish kifoya.
Misol.
Koshi masalasini (0;1) intervalda aniqlikda yechimining h=0,2 qadamda taqribiy qiymatlarini toping.
Yechish. 1) Analitik usulda yechish:

bu chiziqli tenglama
p(x) =-0,1, q(x) =3x .

= =
=

Umumiy yechim .
Xususiy yechim :
.


2)Runge-Kutta usulida yechish:

bo‘lganda hisoblas:	bo‘lganda hisoblas:
bo‘lganda hisoblas:	bo‘lganda hisoblas:
bo‘lganda hisoblas: .

	x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
	y	0,4	0,4913	0,6202	0,8128	1,1009	1,5233

Aдабиётлар

1. 
   Enns R.H. It‘s a Nonlinear World. Springer-2011.
   
2. 
   Chaudhary M., Dhar J., Om Prakash Misra. A mathematical model for the conservation of forestry biomass with an alternative resource for industrialization: a modified Leslie Gower interaction Springer International Publishing Switzerland. -2015.
   
3. 
   Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge University Press 2013.
   
4. 
   Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений, М., КомКнига. УРСС. 2006.
   
5. 
   Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: Из-во РХД. 2000.
   
6. 
   Шампайн Л.Ф., Гладвел И., Томпсон С. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием MATLAB: Учебное пособие. Пер с англ. М.А.Макарова. – СПб.: Изд-во «Лань», 2009. 304с.
   
7. 
   Салохиддинов М. С., Насриддинов Г. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. Ўқитувчи. 1994.