Differensial tenglamalarning tadbiqlari. Taqribiy yechish usullari: Eyler, Runge-Kutta va ketma-ket yaqinlashish usullari. Dasturlar majmuasidan foydalanish. Differensial tenglamalarning amaliy masalalarni yechishga tadbiqlari

26-ma’ruza. Differensial tenglamalarning tadbiqlari. Taqribiy yechish usullari: Eyler, Runge-Kutta va ketma-ket yaqinlashish usullari. Dasturlar majmuasidan foydalanish. Differensial tenglamalarning amaliy masalalarni yechishga tadbiqlari.


1. Fizik masalalar. Fizik masalalarni yechishda avvalo qaysi miqdorni erkli oʻzgaruvchi, qaysinisini izlanayotgan funksiya sifatida olishni aniqlash lozim. Keyin esa x miqdorga orttirma berilganda masalada aytilayotgan u miqdor qanchaga oʻzgarishini (ya’ni orqali ni) aniqlash kerak. Olingan tenglikni ikkala qismini ga boʻlib, da limitga oʻtsak, differentsial tenglamaga ega boʻlamiz, uni yechib, izlanayotgan funksiyani topib olamiz. Ba’zi hollarda hosilaning fizik ma’nosidan foydalanib (agar t erkli oʻzgaruvchi boʻlsa, y miqdorning oʻzgarish tezligi), differentsiyal tenglamani qiyinchiliksiz tuzish mumkin boʻladi.
Misollar.
1) Ichida 20 l. Suvi boʻlgan idishga har litrda 0,2 kg tuz bulgan qorishma minutiga 5 l. Tezlik bilan uzulksiz quyilayapti. Idishda qorishma suv bilan aralashib, xudi shu tezlikda chiqib ketayapti. 4 minutdan keyin idishdagi tuz miqdori qancha boʻladi?
Yechimi. orqali t minutdan keyingi idishdagi tuzning miqdori­ni belgilaymiz. oraliqda idishdagi idishdagi tuzning miqdori qanchaga oʻzgarishini hisoblaylik. vaqt idishga 5 miqdor qorishma tushadi. Bu qorishmaning tarkibida kg tuz bor.
Shu vaqtning ichida idishdan 5 l qorishma chiqib ketadi. t momentda idishdagi tuzning miqdori kg edi, agar vaqtda idishdagi tuzning miqdori oʻzgarmasa, 5 l chiqib ketayotgan aralashma

tuz bor. Umuman olganda idishdagi tuzning miqdori qandaydir α ga oʻzgaradi ( ), shuning uchun idishdan vaqtda oqib chiqqan tuzning miqdori kg boʻladi, bu erda
Shunday qilib vaqt oraligʻida idishga kg tuz tushadi, kg tuz idishdan oqib chiqadi. Bundan

tenglikni olamiz. Tenglikni har ikkala tomoni ga boʻlib, da limitga oʻtamiz. Agar biz da ekanligini e’tiborga olsak, differensial tenglamani olamiz. Bu tengla­maning umumiy integrali koʻrinishda boʻladi. da idishdagi tuzning miqdori boʻlganligi uchun

demak, Shunday qilib, idishdagi tuzning miqdori

qonun bilan oʻzgaradi. momentdagi tuzning miqdori kg ga teng boʻladi.
2) Uzunligi L va diametri D boʻlgan temir temir yoʻl tsisternasi kerosin bilan toʻldirilgan. Kerosin tsisterna ostida joylashgan va kesim yuzi ω boʻlgan qisqa chiqish naychasi orqali oqizib yuborilganda tsisterna qancha vaqtda boʻshashini aniqlang.
Yechimi. Avval bunday umumiy holda qanday hal qilinishini tushuntiramiz. Faraz qilaylik, koʻndalang kesim yuzi S balandlik h ning ma’lum S =S (h) funksiyasi boʻlgan idish H sathgacha suyuqlik bilan toʻldirilgan boʻlsin. Idish tubida yuzi ω boʻlgan teshik boʻlib, undan suyuqlik oqib chiqadi. Suyuqlik sathi dastlabki H holatdan istalgan h gacha pasayish vaqti t ni va idishning toʻla boʻshash vaqti T ni aniqlaymiz. Biz idishdagi suyuqlik sathi ning ma’lum v = v (h) funksiyasi deb faraz qilamiz.
Biror t momentda idishdagi suyuqlik balandligi h ga teng boʻlsin. vaqt oraligʻida idishdan oqib chiqadigan suyuqlik miqdori ΔV ni topaylik: ikkinchi tomondan (pasayganligi uchun manfiy ishora bilan olindi) boʻlgani uchun tenglikni olamiz. Tenglikni har ikki tomoni ga boʻlib, da limitga oʻtsak, quyidagi differentsial tenglamani olamiz:

Bu tenglamani integrallab,

yechimni olamiz.
Idish toʻla boʻshaganda h = 0 boʻlgani uchun uning toʻla boʻshash payti T quyidagicha topiladi:

Agar suyuqlik kichik teshikdan yoki qisqa naychadan oqib chiqayotgan boʻlsa, Torrichelli qonuniga muvofiq bu erda g – ogʻirlik kuchi tezlanishi, μ – empirik koeffitsient (sarf boʻlish koeffitsienti). U holda hosil qilingan ifodalar quyidagi koʻrinishni oladi:

Bizning konkret misolimizda

boʻlgani uchun

3) Massasi m boʻlgan D yuk A nuqtada boshlangʻich tezlik olib ABC bukilgan trubada (1-rasmga qarang) harakat qilyapti. AB boʻlakka yukka ogʻirlik kuchidan tashqari yukning tezligiga bogʻliq boʻlgan R qarshilik kuchi ta’sir etadi. B nuqtadan yuk oʻz tezligini oʻzgartirmas­- dan trubaning BC boʻlagiga oʻtadi, bu erda yukka ogʻirlik kuchidan tashqari F oʻzgaruvchi kuch ham ta’sir qiladi. AB va ( – F kuchning x oʻqdagi proektsiyasi) ma’lum boʻlsa, yukning BC boʻlak­dagi harakat qonunini toping.

1-rasm.

Berilgan: m = 2 kg, R = bu erda Topish kerak: yukning BC boʻlakdagi harakat qonuni.

Yechimi. a) Yukni material nuqta deb qarab, AB boʻlakdagi harakatini koʻrib chiqamiz. Yukka (ixtiyoriy holatda) ta’sir qiluvchi va R kuchlar chizmada tasvirlangan. Az oʻqni oʻtkazib, yukning harakatini shu oʻqqa proektsiyasi differentsiyal tenglamasini tuzamiz:

boʻlgani uchun
(1)
ekanligini e’tiborga olsak, qu­yi­dagi tenglikni olamiz:
(2)
Yozuvni engillatish uchun
(3)
belgilashlarni kiritamiz (bu erda deb olindi). U holda
(2) tenglamani
(4)
koʻrinishda yozish mumkin.
O’zgaruvchilarni ajratib, har ikkala tomonini integrallab, quyidagi ifodani olamiz:
(5)
da boʻlgani uchun (5) tenglikka koʻra Buni (5) tenglikka qoʻyib,
yoki
tenglikni olamiz. Buni esa
(6)
tenglikni olamiz. (6) tenglikda lar (3) tenglik orqali ifodalangan ekanligini hisobga olib, yukning V nuqtadagi tezlikni topamiz:
(7)