Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

2-teorema. Agar [c;+_∞) nurda aniqlangan f(x) va g(x) funksiyalar berilgan bo‘lib,

1. 
   
   (c;+∞) da chekli f’(x) va g‘(x) hosilalar mavjud va g‘(x)≠0,
   
2. 
   
   lim f ( x ) = 0, lim g( x ) = 0;
   

x→+∞ x→+∞

3. 
   
   hosilalar nisbatining limiti lim ^{f'( x )} ( chekli yoki cheksiz) mavjud bo‘lsa, u x^→+∞ g'( x )
   

holda funksiyalar nisbatining limiti lim ^{f ( x )} mavjud va x→+∞ g( x )

lim ^{f ( x )}= lim ^{f'( x )} (2.3) x→+∞ g( x ) x→+∞ g'( x )

tenglik o‘rinli bo‘ladi.


Isbot. Umumiylikni saqlagan holda, teoremadagi c sonni musbat deb olish mumkin. Quyidagi _{х =} ¹ formula yordamida x o‘zgaruvchini t o‘zgaruvchiga t
almashtiramiz. U holda x→+∞ da t→0 bo‘ladi. Natijada f(x) va g(x) funksiyalar t o‘zgaruvchising f 1 va g1 funksiyalari bo‘lib, ular (0,1 ] da aniqlangan.

 t   t  c

Teoremadagi (2) shartga asosan lim f (¹ ) ₌ 0, lim g(¹) ₌ 0 bo‘ladi.

t→+0 t t→+0 t

Ushbu,

' ' ' '

 f 1t =  f 1t  ⋅ xt' = − fx' 1t ⋅ 1 ^,  g1t __t = _ g_1t ___x ⋅ xt' = −g'x _1t _⋅ t1₂ t _{  x  } t_

munosabatlardan ( 0;¹c ) intervalda f_t^' (¹_t ), g_t^' (¹_t ) hosilalarning mavjudligi kelib chiqadi. So‘ngra teoremaning 3) shartiga ko‘ra
lim ft' (1t ) = lim − fx'⋅( t12 ) = lim f' (x)

t→+0 g_t' t t x→+∞ g' (x)

Demak f ^_^1_ va g^_^1_ funksiyalarga 1-teoremani qo‘llash mumkin. Bunda

 t   t 

xlim→+∞ g^f (⁽ x^x)⁾= tlim→+0 _g^f ₍⁽₁^1t ₎⁾ e’tiborga olsak, (2.3) tenglikning o‘rinliligi kelib chiqadi. t
Teorema isbot bo‘ldi.


ko‘rinishdagi aniqmaslik. Agar x→a da f(x)→∞, g(x)→∞ bo‘lsa,

^{f ( x )} nisbat ko‘rinishidagi aniqmaslikni ifodalaydi. Endi bunday

g( x )

aniqmaslikni ochishda ham f(x) va g(x) funksiyalarning hosilalaridan foydalanish mumkinligini ko‘rsatadigan teoremani keltiramiz.