Differensial va integral hisob komandalarining hususiyatlari 1-§. O‘rta qiymat haqidagi teoremalar

3-teorema. Agar

1. 
   
   f(x) va g(x) funksiyalar (a;∞) nurda differensiallanuvchi, hamda g‘(x)≠0,
   
2. 
   
   lim f ( x ) = lim g( x ) = ∞,
   

x→∞ x→∞

3. 
   
   lim ^{f'( x )} mavjud bo‘lsa, x_→∞ g'( x )
   

u holda lim ^{f ( x )} mavjud va lim ^{f ( x )}= lim ^{f'( x )} bo‘ladi. x_→∞ g( x ) x_→∞ g( x ) x_→∞ g'( x )

Isbot. Teorema shartiga ko‘ra lim ^{f'( x )} mavjud. Aytaylik lim ^{f'( x )}=_µ
x_→∞ g'( x ) x_→∞ g'( x )

bo‘lsin. U holda ∀ε>0 sonni olsak ham shunday N>0 son topilib, x≥N bo‘lganda µ (2.3)

tengsizliklar bajariladi. Umumiylikni cheklamagan holda N>a deb olishimiz mumkin. U holda x≥N tengsizlikdan x∈(a;∞) kelib chiqadi.
Aytaylik x>N bo‘lsin. U holda [N;x] kesmada f(x) va g(x) funksiyalarga Koshi teoremasini qo‘llanib quyidagiga ega bo‘lamiz:

f ( x ) − f ( N ) ⁼ f'( c ) , bu erda N. g( x ) ₋ g( N ) g'( c )
Endi c>N bo‘lganligi sababli x=c da (2.3) tengsizliklar o‘rinli:

µ ,

bundan esa

µ

tengsizliklarga ega bo‘lamiz.
Teorema shartiga ko‘ra lim f ( x ) = ∞, lim g( x ) = ∞, f(N) va g(N) lar esa
x→∞ x→∞
chekli sonlar. Shu sababli x ning yyetarlicha katta qiymatlarida ^{f ( x ) − f ( N )} kasr g( x ) − g( N ) ^{f ( x )} kasrdan istalgancha kam farq qiladi. U holda shunday M soni topilib, x_≥M

g( x )

larda µ-_ε< ^{f ( x )}<_µ+_ε (2.4) g( x )
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.
Shunday qilib, ixtiyoriy _ε>0 son uchun shunday M soni mavjudki, barcha x_≥M larda (2.4) tenglik o‘rinli bo‘ladi, bu esa lim ^{f ( x )}=_µ ekanligini anglatadi. x_→∞ g( x )
Teorema isbot bo‘ldi.
Yuqorida isbotlangan teorema x→a (a-son) holda ham o‘rinli. Buni isbotlash uchun t= ¹ almashtirish bajarish yyetarli.

х − а

Misol. Ushbu lim ^{ln x} limitni hisoblang.

x→+∞ x

Yechish. f(x)=lnx, g(x)=x funksiyalar uchun 3-teorema shartlarini tekshiramiz: 1) bu funksiyalar (0,+_∞) da differensiallanuvchi; 2) f’(x)=1/x g‘(x)=1; 3) lim ^{f'( x )} ₌ lim ^{1/ х} =0, ya’ni mavjud. Demak, izlanayotgan limit ham x→+∞ g'( x ) x→+∞ 1 mavjud va lim ^{ln x} =0 tenglik o‘rinli.

x→+∞ x