Differensiallash qoidalari

2. Teylor - Makloren formulalari va ularning qo`llanilishi.
y = f (x) funksiya x = a nuqtaning biror atrofida aniqlangan va shu atrofda f (x), f (x), …, f <sup>(n)</sup>(x), f <sup>(n+1)</sup>(x) hosilalarga ega bo`lsa, u holda atrofga tegishli har bir x uchun Teylor formulasi
,
tengligi o`rinli bo`ladi, bu yerda - Teylor formulasining Lagranj shaklidagi qoldiq hadi deb yuritiladi.
Agar x = a + Δx almashtirish kiritsak, Teylor formulasi
( θ є (0; 1) ) Lagranjning umumlashma chekli orttirmalar formulasi deb ataladigan ko`rinishini oladi.

Agar Teylor formulasida a = 0 bo`lsa, ushbu

( θ є (0; 1) )
Makloren formulasi deb ataladigan formulani olamiz.
Teylor - Makloren formulalari funksiyalarni ko`phad shaklida ifodalashda, funksiyalarning taqribiy qiymatlarini hisoblashda, funksiyalarni tekshirish va limitlarni aniqlashda qo`llaniladi.
Masalan, x = 0 nuqta atrofidagi har bir x uchun quyidagilar o`rinli:
1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

3. Aniqmasliklarni ochish Lopital qoidasi
Lopital qoidasi: a nuqtaning biror atrofida differensiallanuvchi, nuqta-ning o`zida differensiallanuvchi bo`lishi shart bo`lmagan f (x) va g(x) funksiyalar uchun, shu atrofda g(x) ≠ 0 va yoki yoki shartlar o`rinli bo`lib, limit mavjud bo`lsa, u holda ham mavjud bo`ladi va tenglik o`rinli.
Yuqoridagi qoida a ni ∞ bilan almashtirilgan hol uchun ham o`rinli.
Lopital qoidasi yoki ko`rinishidagi aniqmasliklarni ochishda qo`llaniladi. Agar nisbat x = a nuqtada yoki ko`rinishidagi aniqmasliklardan iborat bo`lsa, u holda qoida nisbatga qo`llaniladi va jarayon aniqmaslik ochilmaguncha davom ettiriladi.
Algebraik almashtirishlar yordamida (0 · ∞) yoki (∞ - ∞) ko`rinish-dagi aniqmasliklar yoki aniqmasliklarning biriga keltiriladi, so`ng-ra Lopital qoidasi qo`llanilib, aniqmasliklar ochiladi.
Dastlab logarifmlash yo`li bilan esa (1^∞), (∞⁰), (0⁰) ko`rinishdagi aniqmasliklar yoki aniqmasliklarga keltiriladi.
Misollar. Lopital qoidasini qo`llab, limitlarni toping:
1. .

2. .

Adabiyotlar

1. 
   Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.,Наука,1990.
   
2. 
   Нарманов А.Я. Дифференциал геометрия. Т. Университет, 2003
   
3. 
   Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М.,1974.
   
4. 
   Нарманов А.Я. ва бошқалар. Умумий топологиядан машқ ва масалалар тўплами. Т.Университет, 1996.
   
5. 
   Сборник задач по дифференциальной геометрии. Под ред. Феденко А.С. М., 1979.