Diktat Kuliah Mekanika Teknik (Statika Struktur)


Download 1.03 Mb.
Pdf ko'rish
bet5/6
Sana07.10.2017
Hajmi1.03 Mb.
#17336
1   2   3   4   5   6

 

 

 

 

 

Soal Latihan 

Hitung reaksi di tumpuan dari setiap rangka batang berikut, disertai analisis gaya 

batang beserta sifat gaya tarik atau tekan. Gunakan metode keseimbangan titik 

simpul. 


 

Soal 1. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

7 kN 

24 kN 

7 kN 





19 

19 

25,5 

22,5 

22,5 

25,5 





6 kN 

3 kN 

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

45 



 

Soal 2.  

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

Soal 3. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Soal 4. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Soal 5 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



1,6 kN 

F

1,5 m 

4,8 m 

2 m 

3 kN 

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



46 

BAB 7 

 RANGKA BATANG 

(METODE PEMBAGIAN / POTONGAN) 

 

 



•  Metode ini digunakan jika dihendaki untuk menghitung besarnya gaya pada 

batang tertentu. 

 

• 

Prinsip Dasar : 



1)  Seluruh gaya yang bekerja pada potongan (bagian kiri atau kanan struktur 

yang terpotong), harus memenuhi persamaan keseimbangan statis : 

∑ F

X

 = 0    



∑ F

y

 = 0    



∑ M = 0 

 

2)  Perhitungan gaya batang tidak harus dimulai secara berurutan, tetapi dapat 



langsung pada batang yang diinginkan. 

 

3) Potongan harus melalui/memotong batang yang akan dihitung gayanya, 



sehingga dapat digambarkan diagram benda bebasnya (DBB). 

 

4)  Batang yang akan dihitung gaya batangnya dianggap mengalami tarikan dan 



diberi nilai positif (+). Hal ini dimaksudkan sebagai 

asumsi awal

 untuk 


mempermudah analisis. 

 

5)  Maksimum jumlah batang yang dapat/boleh dipotong adalah : 



3 batang.

 

 



Contoh : 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

Jika diinginkan untuk mencari harga gaya pada batang BD, BE, BC maka dapat 

dilakukan pemotongan pada tersebut ditunjukkan dengan garis (n – n ) 

 

F



F

n

n

F

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



47 

Hasil potongan  n – n  

Sisi 

kiri 

      Sisi 

kanan 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

F

BE



  dapat diuraikan arah  x  dan  y  (vertikal dan horisontal) 

 

Untuk menyelesaikan : 



•  F

BD

 dengan  ∑ M



E

 = 0 


•  F

CE

 dengan  ∑ M



B

 = 0 


•  F

BE

 dengan  ∑ F



y

 = 0 


•  Di cek dengan  ∑ F

X

 = 0 ,  ∑ F



y

 = 0 ,  ∑ M = 0 

 

Kasus 1 

Cari gaya pada bagian EF dan GI pada rangka batang berikut. Apakah rangka 

batang seimbang/stabil ? Gunakan metode potongan. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

Jawab : 

•  Potongan  n – n untuk mencari F

EF

 



•  Potongan  m – m  untuk mencari  F

GI

 



 

(i)  ∑ M


B

 = 0 


 

R

VJ



 (32) – 28(8) – 28(24) – 16(10) = 0 

 

 



R

VJ

 = 33 kN    ( ↑ ) 



 

F

2

F

1

F

B

F

BE

F

CE

E

F

3

B

F

EB

F

DE

F

EC

10m

8m

8m



8m

8m

8m



28 kN

28 kN

16 kN

A

m

H

F

D

B

C

E

G

I

K

J

n

n

m

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



48 

(ii)  ∑ M

J

 = 0 


R

VB

 (32) + 16 (10) – 28 (24) – 28 (8) = 0 



R

VB

  =  23 kN    ( ↑ ) 



 

(iii)  ∑ F

X

 = 0 


 

R

HB



 – 16 = 0 

 

R



HB

 = 16  kN     ( ← ) 

 

Mencari  F



EF

  /  F


DF

  /  F


EG 

 

   



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Asumsikan : 

F

EG



 ,  F

EF

 ,  F



DF

  =  gaya tarik 

 

a)  ∑ F


y

 = 0 


 

F

EF



 + 28 – 23 = 0 

  F


EF

 = - 5 kN  (tekan) 

 

b)  ∑ M


E

 = 0 


  F

DF

 (10) + 28 (8) – 16 (10) = 0 



  F

DF

 = - 6,4 kN   (tekan) 



 

c)  ∑ M


X

 = 0 


  F

EG

 – 16 – 6,4 = 0 



F

EG

 = 22,4 kN     (tarik) 



   

Mencari F

GI 

∑ M


H

 = 0 


F

GI

 (10) + 33 (8) – 16 (10) = 0 



F

GI

 = - 10,4  kN   (tekan) 



 

 

 



 

F

E G

1 0 m

8 m


8 m

2 8   k N

A

F

D F

D

B

C

E

F

E F

2 3

8 m


8 m

1 6   k N

F

J H

I

K

J

F

IG

F

IH

3 3

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



49 

Kasus 2 

Diketahui struktur dengan dimensi dan beban seperti gambar. Hitunglah gaya-gaya 

di batang no. 2, 6, 9, dengan metode potongan.

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



Jawab : 

(i)   Pemeriksaan stabilitas konstruksi rangka batang: 

 

2S – B – R = 0 



 

S = 6,  B = 9,  R  = 3  

 

         



2(6) – 9 – 3 = 0 (stabil) 

 

(ii)  Mencari reaksi di tumpuan D dan F 



•  ∑ M

F

 = 0 



R

VD

 (8) + P



2

 (8) + P


1

 (16) – P

4

 (8) = 0 



R

VD

 (8) + 10 (8) + 10 (16) – 10 (8) = 0 



kN

R

VD

20

8



160

=



=

 ( 



↓ ) 

 

•  ∑ M



D

 = 0 


R

VF

 (8) – P



3

 (8) – P


2

 (16) – P

1

 (24) = 0 



R

VF

 (8) – 10 (8) – 10 (16) – 10 (24) = 0 



kN

R

VF

60

8



240

160


80

=

+



+

=

    ( ↑ ) 



 

•  Pemeriksaan hasil perhitungan : 

∑ F

V

  =  0 



P

1

 + P



2

 + P


3

 + P


4

 - R


VF

 + R


VD

 = 0 


10 + 10 + 10 + 10 - 60 + 20 = 0 

 

(iii)  Potongan  n – n  :  sisi kiri 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 


diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



50 

F

2



 = F

BC

, F



6

 = F


BF

 , F


9

 = F


EF

 

F



6  

terdiri dari = F

6H

 dan F


6V 

 

Sudut θ = 45º 



• 

F

6H



 = F

6

 sin 45º 



• 

F

6V



 = F

6

 cos 45º 



 

a)   ∑ M


B

 = 0 


  F

9

 (8) + P



1

 (8) = 0 

 

)

(



10

8

8



.

10

8



8

.

1



9

tekan

kN

P

F

=



=



=

 

 



b)  ∑ M

F

 = 0 



  F

2

 (8) – P



1

 (16) – P

2

 (8) = 0 



  F

2

 (8) – 10 (16) – 10 (8) = 0 



  F

2

 = 30 kN   (tarik) 



 

c)  ∑ F


V

 = ∑ F


 = 0 


  F

6V

 + P



1

 + P


2

 = 0 


  F

6V 


 = - P

1

 – P



2

 = - 10 – 10 = - 20  kN     (tekan)

 

  F


6V

 = F


6

  cos 45º

 

 

)



(

3

,



28

45

cos



20

45

cos



6

6

tekan



kN

F

F

V

=



°

=



°

=



 

 

Kesimpulan : 



a)   F

2

  =   30 kN    (tarik) 



b)   F

6

  =  - 28,3 kN   (tekan) 



c)   F

9

  =  - 10 kN    (tekan) 



 

Soal latihan 

Soal 1.  

Cari reaksi di tumpuan dan hitung gaya di batang CE dan CF  dengan metode 

potongan. 

 

 



 

 

 



 

 

 



Soal 2.  

Cari reaksi di tumpuan dan hitung gaya F

1

, F


2

, dan F


3

 di batang HI, HC, dan BC  

dengan metode potongan. 

 

 



 

 

 



diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



51 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

Soal 3.  

Cari reaksi di tumpuan dan hitung gaya di batang A

1

, D


2

, dan B


2

  dengan metode 

potongan. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 

 

Soal 4. 

Cari reaksi di tumpuan dan hitung gaya di batang CE, CD, dan BD  dengan metode 

potongan. 

 

 



 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F

E

C

D

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



52 

Soal 5. 

Cari reaksi di tumpuan dan hitung gaya di batang BD dan DE  dengan metode 

potongan. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

****** 


 

30

30

30

8

8

8

15

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



53 

Bab 8 

MOMEN INERSIA 

 

Jika  ρ : jarak tegak lurus dA ke sumbu inersia maka momen inersia di definisikan 



sebagai : 

 

 



 

=



dA

I

2

ρ



 

 

Dari definisi ini maka menunjukkan bahwa luas dibagi menjadi elemen kecil (dA) dan 



masing-masing luas dikalikan dengan kuadrat lengan momennya (ρ) terhadap 

sumbu acuan. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

(i)   momen inersia terhadap sumbu x : 

 

 



=

dA

y

I

x

2

 



 

(ii)  momen inersia terhadap sumbu y : 

 

 



=

dA

x

I

y

2

 



 

•  Bandingkan dengan : 

=

dA



y

Q

x

 



=

dA

x

Q

y

   


momen pertama, pada saat mencari titik berat. 

 

Maka 



=

dA



y

I

x

2

 



=

dA



x

I

y

2

 



momen kedua, (second moment of area) 

 

Jadi : momen inersia = momen kedua suatu bidang. 



 

Satuan momen inersia adalah : 

I : (mm

4

) / cm



4

 atau  m


4

,  tergantung satuan dasar yang digunakan. 

 


diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



54 

Momen inersia polar / kutub 

Momen inersia luas relative terhadap garis atau sumbu tegak lurus bidang luas 

disebut dengan momen inersia polar / kutub dengan simbul  (J

o



=

dA



r

I

2

 



=

dA



y

I

x

2

 



=

dA



x

I

y

2

 



J

o

  =  I



X

 + I


y

   =   




+

=

+



dA

y

dA



x

dA

)



y

x

(



2

2

2



2

 

 



Jari-jari Girasi 

Tinjau suatu bidang A yang bermomen inersia I

terhadap sumbu x. Agar bidang A 



yang berkonsentrasi mempunyai momen inersia terhadap sumbu x, maka harus 

diberikan jarak (k) dari sumbu x yang didefinisikan melalui hubungan :  

 

 

I



X

 = k


X

2

 A   →   k



X

 = 


A

I

X



 

 

 



k

X

 : jari-jari girasi terhadap sumbu x. 



Catatan :  

untuk mendapatkan momen maka gaya x jarak jari-jari girasi (k) adalah jarak momen.  



A

k

I

A

I

k

X

X

X

X

2

=



=

 



 

A

k

I

A

I

k

y

y

y

y

2

=



=

 



 

A

k

j

A

I

k

o

o

o

o

2

=



=

 



 

 

k



o

2

 = k



X

2

 + k



y

2

       →     J



o

 =  k


X

 + k


 

Beberapa posisi k : 



 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



55 

Contoh : 

Tentukan jari-jari girasi (k

X

) dari persegi panjang seperti pada gambar : 



 

 

 



 

 

 



 

3

h



3

h

k



3

h

bh



h

b

A



I

k

2



X

2

2



3

1

X



2

x

=



=

=

=



=

 

 



 

 

 



Teorema Sumbu Sejajar  

(i)  Tinjau momen inersia (I) suatu bidang yang luasnya A terhadap sumbu A – A



jika jarak antara sumbu referensi  A – A



 ke  dA  adalah  y. 

 Maka 



 



   

=



dA

y

I



2

 

 



 

 

 



 

 

 



 

 

(ii)  Tarik sumbu ke II yaitu B – B



 yang melewati titik berat C pada bidang sejajar 

dengan A - A

   sumbu B – B



 yang melewati C disebut dengan : 



Sumbu Titik 

Berat

. Jika jarak  B – B

  ke dA adalah y’, maka jarak elemen dA ke   B–B



 dapat 


ditulis : 

 

 

y = y



 + d ,   

 

dengan d  adalah : jarak  A-A



   ke B-B

’ 

 

Dengan substitusi  y = y



 + d ke 


=

dA



y

I

2



maka dapat diperoleh : 





+

+

=



+

=

=



dA

dA

dA



y

d

2



dA

y

I



dA

)

d



y

(

dA



y

I

1



2

1

2



1

2

 



       I  

      II   

III 


diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



56 

Dari integral di atas dapat disimpulkan sebagai berikut : 

a)   Integral  I  : 

dA

y

2



'

 =  menyatakan I

X

 yaitu momen inersia terhadap sumbu titik berat B-B



 



b)   Integral  II : 

y

.



A

dA

y



karena

,

0



dA

y

d



2

1

1



=

=



 dimana y menyatakan jarak dan 

sumbu acuan B-B

 ke titik berat. Karena titik berat C berada pada sumbu B-B



 

maka y = 0, maka hasil integrasi = 0 



 

c)   


=

2



2

Ad

dA



d

 

 



Maka integral  I  =  

dA

)



d

y

(



2

1



+

 dapat ditulis sebagai : 

I



 =  I



X

 + Ad


2

   yang merupakan teorema sumbu sejajar. 

    

I



 =  I

X

 + Ad



2

     dengan   A : luas dan d : jarak sumbu  AA

 – BB


 

 



Artinya  :   

untuk setiap luas momen inersia terhadap setiap sumbu pada bidang luas, sama 

dengan momen inersia terhadap sumbu sejajar titik berat, ditambah terminologi 

perpindahan yang terdapat perkalian luas dengan kuadrat jarak antara kedua sumbu. 

 

Dengan menggunakan hubungan dan cara yang sama dapat diambil : 



(i) Ak

X

2



 = A

⎯k

X



2

 + Ad


2

 

   k



X

2

 =



⎯k

X

2



 + d

2

   (jari-jari 



girasi) 

(ii)  Momen inesia polar : 

J =

⎯J + Ad


2

 

Contoh soal : 



1)  Tentukan momen inesia segitiga terhadap alasanya. 

 

 



 

 

 



 

 

 



 

dA

y



I

2

X



=

 



dI

X

 = y



2

 dA 


dA

y

I



2

X



=

 



dengan dA = 

l

 dy 


 

untuk menentukan 



l

, lihat segitiga sebangun (sama) : 



diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



57 

 

dy



h

y

h



b

dA

dy



dA

h

y



h

b

h



y

h

b





⎛ −



=

=





⎛ −



=

=



l

l

l



 

•  Batas integral : y = 0 ke y = h 

dy

h

y



h

b

y



dA

y

I



h

o

2



2

X





⎛ −


=

=



 



  

=  


dy

)

y



y

h

(



h

b

3



h

o

2



 



  

=  


h

o

4



3

4

y



3

y

h



h

b







   

  

=  







⎟⎟



⎜⎜



)



o

(

4



h

3

h



.

h

h



b

4

3



 

  

=  







=







12

h

3



h

4

h



b

4

h



3

h

h



b

4

4



4

4

 



     

12

12



3

4

bh



h

h

b

I

x

=

=



 

 

2.  Tentukan momen inersia polar (Jo) terhadap titik berat suatu bidang lingkaran 



dengan integrasi langsung. Kemudian dengan menggunakan hasil Jo, tentukan 

momen inersia bidang lingkaran terhadap diameter 

 

 

 



 

 

dJo = u



2

 dA 


dA = 2

π u du 


Jo = 



μ

=

dA



Jo

d

r



o

2

 



Batas integral adalah  (o - r) 

Jo  


=  

)

d



2

(

r



o

2

μ



μ

π

μ



 


diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



58 

=  


μ

μ

π



d

2



r

o

3



 =  

r

o



4

4

2



⎟⎟



⎜⎜

⎛ μ



π

 

=  



⎟⎟



⎜⎜



π

0



4

r

2



4

 

4



r

2

Jo



π

=



 

 

Momen kelembaman terhadap diameter : 



I

X

 = I



y

  karena bidang lingkaran simetri. 

Jo = I

X

 + I



y

 

Jo = 2 I



X

 

X



I

r

r

2

4



=

π

 



momen inesia terhadap diameter. 

4

4



r

I

I

y

X

π

=



=

 

 



3. 

Tentukan momen inersia segi empat dengan dasar b dan tinggi h terhadap : 

 

a)   sumbu titik berat 



 

b)   sumbu berimpit dengan dasar 

 

•  dA  =  b  dy 



• 

dA

y



I

2



=

 

•  A  =  b .h 



•  d  =  

2

h



 

 

maka : 



a)   

y

x

d

b

y

dA

y

I

h

h

h

h

)

.



(

2

2



2

2

2



2





=

=

 



      

⎯I

X



 = b 







=





3



)

(

3



)

(

b



3

y

3



2

h

3



2

h

3



2

h

2



h

 

      



⎯I

X

 =  b  







+

=









24

h

24



h

b

3



3

3

3



8

h

8



h

3

3



 

12

24



2

3

3



bh

h

b

I

x

=

=



 

 



diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



59 

b)  Teorema sumbu sejajar : 

I

X

  = 



⎯I

X

 + Ad



2

   =   


2

3

2



h

.

h



.

b

12



bh





+

 



3

4

12



3

3

3



bh

bh

bh

I

X

=

+



=

 

 



4.  Tentukan I

X

 dan  I



X  

dari segitiga berikut. 

 

 

 



 

 

 



 

 

 



Jawab : 

(i) dA = x dy ,     

 x  = 

)

y



h

(

h



b

 



 

dA =  


)

y

h



(

h

b



 

 



I

X

  



= momen inersia terhadap sumbu x (berimpit dengan b) 

I

X



  

=  


dy

)

y



h

(

h



b

y

dy



x

y

h



o

2

h



o

2







=



 

=  


h



o

3

2



dy

)

y



hy

(

h



b

 

12



4

3

3



4

3

bh



y

y

h

h

b

I

h

o

X

=







=

 

 



(ii)  momen inersia sumbu titik berat  (sumbu X

o



 

I

X



  = 

⎯I

X



 + Ad

 



2

3

1



2

1

X



3

)

h



(

)

h



.

b

.



(

I

12



bh

+

=



 

 

18



bh

I

9



h

2

bh



I

12

bh



3

X

2



X

3

+



=

⎟⎟



⎜⎜







+

=



 

 

I



X

  =  


36

bh

3



 

 


diktat-mekanika teknik-agustinus purna irawan-tm.ft.untar.jan07 

 

 



60 


Download 1.03 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling