Diskret tuzilmalari

Agar X to‘plam berilib, unda *,º algebraik operatsiyalar berilgan bo‘lsa, ular vositasida berilgan algebra ‹X,*,º› ko‘rinishda bo‘ladi. ‹X,T,º› algebra ‹X,T,*› algebradan º va * algebraik operatsiyalari bilan farq qiladi.

Gruppa, halqa, maydon ana shunday algebralar qatoriga kiradi. Quyida gruppa, halqa va maydon kabi algebralarning xossa va xususiyatlarini ko‘rib chiqamiz.

• Yarim gruppa va gruppa haqida tushuncha. Aytaylik bizga, A≠Ø to‘plam va binar * algebraik operatsiya berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa, ‹A, *› algebra yarim gruppa deyiladi. 2-ta’rif. Bo‘sh bo‘lmagan A to‘plamda quyidagi xossalar o‘rinli bo‘lsa, ‹A, *› algebra gruppa deyiladi:a) A to‘plamning ixtiyoriy ɑ,b,c elementlari uchun ɑ*(b*c)=(ɑ *b) munosabat o‘rinli bo‘lsa, ya’ni binar * algebraik operatsiya assotsiativ bo‘lsa; b) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday eA element mavjud bo‘lib, u a*e=e*a=a shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamda neytral element mavjud bo‘lsa.

C) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday element mavjud bo‘lib, u quyidagi a* shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo‘lsa.

C) A to‘plamning ixtiyoriy a elementi uchun shunday element mavjud bo‘lib, u quyidagi a* shartni qanoatlantirsa, ya’ni A to‘plamning har bir elementiga simmetrik element mavjud bo‘lsa.

Ta’rifdan ko‘rinadiki, ‹A,*,e, › algebra gruppa bo‘lishi uchun * algebraik operatsiya bo‘lib, u assotsiativ bo‘lishi hamda A to‘plamda e neytral, simmetrik elementlar mavjud bo‘lishi kerak ekan.

3-ta’rif. Agar A to‘plamda berilgan * algebraik operatsiya kommutativ bo‘lsa, ya’ni ixtiyoriy a,bA uchun a*b=b*a o‘rinli bo‘lsa, ‹A,*,e, › gruppa * binar algebraik operatsiyaga nisbatan kommutativ gruppa deyiladi. Kommutativ gruppa ba’zi hollarda Abel gruppasi deb ham ataladi.