Ə. A. Quliyev
Əyrilər ailəsinin bürüyəni
Download 10.77 Mb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- 1.20. F ərqlər tənliyi.
- 1.20.1. Sonlu f ərqlər və onların xassələri
- 1.20.2. F ərqlər tənliyi anlayışı və onun həlli.
|
Əyrilər ailəsinin bürüyəni Tutaq ki, ( )
, , = c y x φ
(1) şəklində tənlik verilmişdir (Dekart sis- temind
ə), C isə müxtəlif qeyd olunmuş qiymətlər ala bilən parametrdir. 113
C parametrinin h ər bir müəyyən qiymətində (1) tənliyi Oxy müs- t əvisində bir əyrini təyin edir. C parametrinə mümkün olan qiymətlər ver ərək, biz bir parametrdən asılı olan, əyrilər ailəsi yaxud çox zaman deyildiyi kimi – bir parametrli əyrilər ailəsi alarıq. Beləliklə (1) tənliyi bir parametrli əyrilər ailəsi tənliyidir (çünki tənlikdə yalnız bir ixtiyari sabit vardır). T ərif. L x
ətti özünün hər bir nöqtəsində bir parametrli əyrilər ail
əsi xətlərindən bu və ya digərinə toxunarsa və L x
əttinin müxtəlif nöqt
ələrində ona ailənin müxtəlif xətləri toxunarsa, onda L x əttinə hə- min birparametrli əyrilər ailəsinin bürüyəni (qurşayanı) deyilir (şəkil 25). M əsələn,
( ) 2 2 2
y c x = + −
əyriləri ailəsinə baxaq; burada R – sabit, C is ə parametrdir. Bu radiusu R, mərkəzi Ox Oxu üzərində olan çevr ələr ailəsidir. Aşkardır ki, bu ailənin bürüyənləri R y R y − = = ,
düz x ətlərindən ibarətdir. Əyrilər ailəsinin bü- rüy ənini (
) ( ) = ′ = 0 , , 0 , , c y x c y x C φ φ (*) t ən-
likl ər sistemindən tapılır. Əksinə, (*) tənliklər sis- temind
ən C –ni yox etdikdən sonra alınan ( )
ϕ = funksi- ya sı diferensiallana bilən olarsa, bundan əlavə, bu əyri üz ərində
0 ≠
dc olarsa, onda ( )
ϕ = bürüy ənin tənliyi- dir.
X-XI sinifl ərdə hesablama riyaziyyatı ilə əlaqədar olan aşağıdakı anlayışlar haqqında “yüksək dərəcəli tənliklər” mövzusu daxilində şagirdlərə məlumat vermək olar.
0
,
+ = 0 1 , h x x 2 0 2 + = , ..., nh x x n + = 0 , ( ) h n x x n 1 0 1 + + = + nöqt ələrində uyğun olaraq 1 2
0 , ..., , , , + n n y y y y y qiym
ətlərini alan ( )
x f y =
114
funksiyasına baxaq. Funksiyanın hər bir iki ardıcıl qiymətləri fərqini tapaq:
0 1 0 y y y − = ∆ , 1 2 1
y y − = ∆ , ...,
n n n y y y − = ∆ +1 . n y y y ∆ ∆ ∆ ,...,
, 1 0 f ərqlərinə bir tərtibli sonlu fərqlər və ya sadəcə ( )
funksiyasının birinci fərqləri deyilir. Bir t ərtibli fərqlərin iki ardıcıl fərqləri arasındakı fərqə ikitərtibli f ərqlər və ya ikinci fərqlər deyilir. 0 1 0 2
y y ∆ − ∆ = ∆ , 1 2 1 2
y y ∆ − ∆ = ∆ ,..., n n n y y y ∆ − ∆ = ∆ +1 2
Ümumiyy ətlə k-tərtibli sonlu fərqlər dedikdə n k n k n k y y y 1 1 1 − + − ∆ − ∆ = ∆ f ərqi başa düşülür. İxtiyari tərtibdən sonlu fərqi funksiyanın qiymətləri ilə ifadə düs- tur
larını çıxarmaq olar. Doğrudan da 0 1 0 y y y − = ∆
v ə 0 1 0 2
y y ∆ − ∆ = ∆ olduğundan ( ) (
) 0 1 1 2 0 2 y y y y y − − − = ∆ . Bel əlik-
l ə,
0 1 2 0 2 2 y y y y + − = ∆ . Üç t ərtibli fərq üçün analoji olaraq belə münasibət alırıq: 0 1
3 0 3 3 3
y y y y − + − = ∆ . Riyazi induksiya metodundan istifad ə edərək 0
nöqt əsində k tər- tibli f ərqin verilmiş funksiyanın k x x x x ,...,
, , 2 1 0
ardıcıl nöqtələrində funksiyanın qiymətləri və
( )
( )( ) ( )
0 1 2 1 0 1 1 1 ... ! 2 1 y ky k y k k ky y y k k k k k − + − − + − − + − = ∆ − − (1) ifad əsi düsturunun doğruluğunu göstərmək olar. (1) düsturunda funksiyanın bütün qiymətləri nömrələrinə n-i əlavə ets
ək, onda n x nöqt
əsində k-ci fərqlər düsturunu alarıq:
( ) ( ) ( )
n k n k n k n k n k n k y ky y k k ky y y 1 1 ... ! 2 1 1 1 1 1 − + − + − − + − = ∆ + − − + − + + (2) Arqumentin addımını h=1 götürüb və ( )
x f y x =
əvəzləməsini daxil ets ək, onda (2) düsturuna əsasən bir sıra bərabərlikləri yazmaq olar:
115
x x x x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y y y y y y y y y y y y + − + − = ∆ − + − = ∆ + − = ∆ − = ∆ + + + + + + + + + + 1 2 3 4 4 1 3 3 3 1 2 2 1 4 6 4 , 3 3 , 2 (3) v ə s.
(3) düsturu funksiyanın sonlu fərqləri daxil olan ifadələrdən funksiyanın ardıcıl qiymətləri daxil olan ifadələrə keçməyə imkan verir. h=1 hesab etm əklə bəzi funksiyaların fərqlərini hesablayaq: 1. F ərz edək ki, ( ) C x f = , burada c=sabit. Onda ( ) ( ) ( )
0 1 = − = − + = ∆ C C x f x f x f . Dem
əli, sabitin birinci və sonrakı f ərqləri sıfra bərabərdir. 2. F ərz edək ki, ( )
+ = , burada 0 ≠ k . Onda
( ) ( ) ( ) (
) k b kx b x k x f x f x f = − − + + = − + = ∆ 1 1 . Bel
əliklə, xətti funk
siyaların birinci fərqi sabitdir, sonrakı ( )
( ) ,...
, 3 2 x f x f ∆ ∆ f ərqləri
sıfıra bərabərdir (1 misalına baxmalı). 3. F
ərz edək ki, ( )
( ) 0 2 ≠ + + =
c bx ax x f .
Burada ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]
) b a ax c bx ax C x b x a x f x f x f + + = + + − + + + + = − + = ∆ 2 1 1 1 2 2 . Dem əli, kvadrat funksiyaların birinci fərqi xətti funksiyadır, ikinci f ərq sabit olacaq (2 misalına baxmalı), bütün sonrakı ( ) ( )
,... , 4 3 x f x f ∆ ∆ f ərqlər isə sıfra bərabərdir. 4. Çox vaxt f ərqlərin hesablanmasının əsas teoremi adlanan ümumi teoremi isbat etm ək olar: Teorem. n d ərəcəli
( ) ( ) 0 ...
0 1 1 0 ≠ + + + = − a a x a x a x f n n n çox-
h ədlisi üçün n-ci fərq sabitdir və n h n a ! 0 - ə bərabərdir, (n+1)-ci fərq is ə sıfra bərabərdir (isbat üçün [21]-ə baxmalı). M əsələn,
( ) 13 7 4 3 4 5 − − + =
x x x f is
ə, onda h=1 olduqda ( )
360 ! 5 3 5 = ⋅ = ∆ x f . T
ərs teorem də doğrudur: ixtiyari h addımında arqumentin b ərabər nisbətdə qiymətlərindən düzəlmiş funksiyanın n-ci f ərqi sabitdirsə, onda funksiya n dərəcəli çoxhədlidir. 116
5. F ərz edək ki, ( )
= . Bu funksiya üçün ( ) ( ) ( )
( ) 1 1 1 − = − = − + = ∆ +
a a a x f x f x f x x x .
ərqlər tənliyi anlayışı və onun həlli. Təcrübədə çox vaxt ( )
x f
funksiyasının qiymətini və həmin funksiyanın ( ) ( )
( ) x f x f x f k ∆ ∆ ∆ ,...,
, 2
sonlu f ərqlərini əlaqələndirən tənliyə təsadüf olunur. M əsələn,
( ) ( )
( ) x x f x f x f = ∆ − ∆ + 3 3 2 (4) t ənliyi
( ) x f funk-
siyasının qiymətini və onun ( )
( ) x f x f 3 , ∆ ∆ sonlu f ərqlərini əlaqə- l əndirir. ( ) ( ) ( )
[ ] 0 ,..., , , = ∆ ∆ x f x f x f x F k (5) şəklində tənliyə, burada ( )
x f
axtarılan funksiyadır, (x=0,1,2,...) k-t ərtibli fərqlər tənliyi deyilir. (5) tənliyində sonlu fərqləri (3) düsturu üzr ə dəyişsək, onda ( ) x f v
ə bu funksiyanın ardıcıl qiymətləri daxil olan t
ənlik alınır. Məsələn, (4) tənliyini belə yazmaq olar: ( )
( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
x f x f x f x f x f x f x f = − + + + − + − − + + 1 3 2 3 3 1 3 2 , buradan is ə sadələşdirdikdən sonra ( ) (
) x x f x f = + − + 3 2 2
alırıq. Sonuncu t ənlikdə x+2 yerində x yazsaq ( )
x f v ə ( ) 1 + x f qiym
ətlərini əlaqələndirən ( ) ( )
1 3 − = + − x x f x f (6) t
ənliyini alarıq. Beləliklə, (5) t
ənliyində sonlu fərqləri (3) düsturu üzrə dəyişməklə fərqlər t ənliyinin başqa formasını müəyyən edirik: ( ) (
) ( ) [ ] 0 ,..., 1 , , = + + k x f x f x f x F (7).
( )
x f v
ə ( ) k x f + daxil olan (7) f ərqlər tənliyinə k-tərtibli f ərqlər tənliyi deyilir. (6) t ənliyi bir tərtibli fərqlər tənliyidir. Göründüyü kimi bu tənliyin t ərtibi ona uyğun olan (4) tənliyinin ən böyük fərqinin tərtibi ilə eyni deyildir. (7) t
ənliyi ( )
x f , ( ) 1 + x f , ...,
( )
x f + -ya n əzərən xəttidirsə, onda ona x
ətti fərqlər tənliyi deyilir. ( ) ( ) ( ) ( ) x Q x f a k x f a k x f k = + + − + + + ... 1 1
(8) şəklində tənliyə sabit əmsallı, k tərtibli xətti fərqlər tənliyi deyilir, burada
k a a a ,...,
, 2 1 h əqiqi ədədlər, ( )
≠ k a , ( ) x Q - verilmiş funksiya, ( ) x f - axtarılan funksiyadır. Bununla əlaqədar Q(x) və ( ) x f -in m
ənfi olmayan tam ədədlər çoxluğunda təyin olunduğu nəzərdə tutulur.
117
Q(x)=0 is ə (8) tənliyinə bircinsli, ( ) 0
x Q olduqda is ə qeyri- bircinsli t ənlik deyilir. (6) t
ənliyi ( )
x f v
ə ( ) 1 +
f - ə nəzərən xəttidir, həm də ( ) 2 − = x x Q , odur ki, o birt ərtibli bircinsli olmayan xətti tənlikdir. (7) t
ənliyinin həlli onun sol tərəfini eyniliklə sıfıra çevirən ( )
x f
funksiyasıdır. M əktəb riyaziyyat kursunda fərqlər tənliyinə gətirilən məsələlərlə qarşılaşmalı oluruq. Buna nümunə olaraq aşağıdakıları göstərmək olar. 1.
, ...
, , , , 4 4 2 3 2 1 q a y q a y q a y a y = = = = h əndəsə silsiləsinə baxaq.
Bu ardıcıllıqda ikincidən başlayaraq hər bir hədd ortaq vuruğun əvvəlki həddə hasilinə bərabərdir. Beləliklə, həndəsi silsilənin hədləri bir t ərtibli n n qy y = +1 v ə ya
0 1 = − +
n qy y (9) f
ərqlər tənliyini ödəyir, burada
n y
ardıcıllığın n-ci həddidir. 2. Fibonaçi ədədləri ardıcıllığı verilir: ,... 5
3 , 2 , 1 , 1 , 0 5 4 3 2 1 0 = = = = = = y y y y y y
Bu ardıcıllıqda üçüncüdən başlayaraq hər bir hədd əvvəlki iki həddin cəminə bərabərdir. Deməli bu ardıcıllığın hədləri iki tərtibli n n n y y y + = + + 1 2 v
ə ya 0 1 2 = − − + + n n n y y y ( ,... 2 , 1 , 0 = n ) (10) f
ərqlər tənliyini ödəyir. 3.
,... 7143143143 , 0
3568 = ədədinin onluq rəqəmləri ardıcıllığına baxaq. Aşkardır ki, ,...
4 , 1 , 3 , 4 , 1 , 7 5 4 3 2 1 0 = = = = = =
y y y y y
ardıcıllığının hədləri üç tərtibli n n y y = +3 v ə ya ,...)
3 , 2 , 1 ( 0 3 = = − + n y y n n (11) f
ərqlər tənliyini ödəyir. 4.
... , 3 , 2 , , 3 2 1 d a y d a y d a y a y n + = + = + = =
ədədi sil- sil
əsində hər iki ardıcıl hədd birtərtibli d y y n n + = +1 (12) f
ərqlər t ənliyi ilə əlaqədardır. Bu tənlikdə n yerində n+1 yazaq: d y y n n + = + + 1 2 (13).
(13)-d ən (12)-ni çıxıb iki tərtibli 0 2
2 = + − + + n n n y y y (14)
f ərqlər tənliyini alırıq. Beləliklə, ədədi silsilədə hər üç ardıcıl hədd (14) 118
münasib ətilə əlaqədardır. Alınmış (9), (10), (11), (14) tənlikləri sabit əmsallı xətti bircins fərqlər tənliyinə, başqa sözlə
( ) ( ) ( )
0 ...
1 1 = + + − + + + x f a k x f a k x f k
(15) şəklində tənliyə aiddir, burada k a a a a ,...,
, , 3 2 1 h əqiqi ədədlərdir, həm də 0 ≠ k a . Bel ə tənliklər fərqlər tənliyinin ümumi nəzəriyyəsində mühüm praktik t ətbiqi olan ən sadə və mühüm halı təşkil etdiyindən sonralar f ərqlər tənliyinin yalnız bu tipinə baxacağıq. Bununla əlaqədar axtarılan ( ) x f
funksiyasının 0,1,2,3,... çoxluğunda təyin edildiyini (başqa sözlə sıfırı da natural ədəd hesab etdikdə natural ədədlər çoxluğunda) nəzərdə tuturuq. H əm də kitabın həcminin məhdud olduğunu nəzərə alaraq yalnız sabit əmsallı bir və iki tərtibli xətti bircins fərqlər tənliyinə baxırıq. Download 10.77 Mb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|